Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n n2 + n + khơng chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 4x+5 =2 2x+3 2x+y =x2 b) Giải hệ phương trình: 2y+x =y Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 4x+3 x2 + Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC2 b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K∈ (O) Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định - - - Hết - - - SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN - Bảng B Câu: a, (2,5) Nội dung *) Nếu nM 3⇒ n2 + nM nên n + n + 2M / (1) *) Nếu nM / 3⇒ n2 + 2M / (2) ⇒ n2 + n + 2M Từ (1) (2) ⇒ ∀n∈ Z n + n + 2M /3 2 (m∈ N) Đặt m = n + 17 2 ⇒ m − n = 17 ⇒ (m − n)(m + n) = 17 = 1.17=17.1 Do m + n > m - n b, m + n = 17 (2,5) m = ⇒ ⇒ m − n = n = Vậy với n = ta có n2 + 17 = 64 + 17 = 81= 92 Giải phương trình x2 + 4x+5=2 2x+3 (1) 2 (1) ⇔ x + 4x+5-2 2x+3 = Điều kiện: 2x+3≥ ⇒ x ≥ - ⇔ x2 + 2x+1+2x+3-2 2x+3 + 1= ⇔ (x + 1)2 + ( 2x+3 − 1)2 = a, (2.5) x + 1= ⇔ 2x+3 − 1= x = −1 ⇔ 2x+3=1 ⇔ x = −1 thỏa mãn điều kiện b, Giải hệ phương trình (1) (2.5) 2x+y= x (2) 2y+x=y Trừ vế phương trình ta có: x2 − y2 = x − y ⇔ (x − y)(x + y − 1) = x = y x = y ⇔ ⇔ x + y − = x = 1− y Ta có: x = y x = y ⇔ x(x − 3) = x =x 0= *) Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) x = 1− y x = 1− y x = 1− y ⇔ ⇔ (*) 2 2x+ y = x − 2y + y = (1 − y) y − y + = Vì phương trình y − y + 1= vô nghiệm nên hệ (*) vơ nghiệm *) Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 4x+3 x2 + 4x+3 x2 + 4x+4 Ta có: A = = −1+ x +1 x2 + (x + 2)2 A = −1+ ≥ −1 x +1 Dấu "=" xảy ⇔ x + = ⇔ x = −2 Vậy A = −1 x = -2 Tìmgiá trị nhỏ A = a, (2,5) A E H F B O I C K S Gọi I giao điểm AH BC ⇒AI ⊥ BC Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) ⇒ BH BI = ⇒ BH.BE = BC.BI (1) BC BE S Ta có: ∆CHI ⇒ ∆CBF (g, g) CH CI = ⇒ CH.CF = BC.CI (2) CB CF Từ (1) (2) suy BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2 · · b, Gọi K điểm đối xứng H qua BC suy HCB = KCB (2,0) Mà · · (do tứ giác AFIC nội tiếp) FAI = HCI · · · · ⇒ FAI = BCK hay BAK = BCK ⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O) · · + Khi BAC = 900 ⇒ BIC = 900 ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc EF đường kính ⇒ EF qua điểm O cố định B F O K I A E C · · + Khi BAC < 900 ⇒ BIC > 900 Gọi K điểm đối xứng I qua EF · = EAF · · (cùng bù BIC ) ⇒ EIF · · (Do I K đối xứng qua EF) EKF = EIF · · ⇒ EKF = EAF ⇒ AKFE nội tiếp · · » ) (1) (cung chắn KF ⇒ KAB = KEF · · (Do K I đối xứng qua EF) (2) IEF = KEF · · · (cùng phụ KIE ) (3) IEF = BIK · · Từ (1), (2), (3) ⇒ KAB = BIK ⇒ AKBI tứ giác nội tiếp ⇒ K ∈ (O) Mà EF đường trung trực KI ⇒ E, O, F thẳng hàng · · + Khi BAC > 900 ⇒ BIC < 900 chứng minh tương tự Vậy đường thẳng EF qua điểm O cố định
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:13
Xem thêm:
