055 đề HSG toán 9 huyện 2009 2010

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KÌ THI HỌC SINH GIỎI Môn: TOÁN NĂM 2009-2010  Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức:  a 1  a 1  P   a a      a 1  a  a    a) Rút gọn P  b) Tính giá trị của P tại a   Câu (1.5 điểm).Giải phương trình:   1 2 x  x   x   Câu (2.5 điểm) Cho x, y là các số dương x y a) Chứng minh:   y x x y xy   y x x  y2 Câu (3.0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M khơng trùng với A và B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn co bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân · giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F, E, K, M cùng nằm một đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí của M nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đo theo R? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  Câu (1.0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:  x  1  x    x  3  x    y  11879 - Hết - *Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu PHÒNG GD&ĐT KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: TOÁN ĐÁP ÁN, CÂU NỢI DUNG ĐIỂM a   a  Điều kiện  a    a   a    P    0.25 a   a  a  1 a  a a 1 a a  a  a  1 a (1  a  1)    4a a a Vậy P  4a a b   a 1             1      1       1 2       0.25 0.25 0.25 0.25    3   3 0.25 0.25 0.25 Vậy a  đo P  4a  Điều kiện x  x  x 1  x 1     0.25  x 1 1  x 1  x    x   (1) 0.5 Khi x    x    x  : Ta co (1)  x    x   Phương trình vô nghiệm 0.25 Khi  x     x     x  : Ta co  1  (1)   x   x    2 x    x  0.25 Vậy x  là nghiệm của phương trình đã cho a x y Vì x > 0, y > nên  và  y x Áp dụng bất đẳng thức a  b  ab dấu "=" xảy  a  b ta co x y x y  2 2 y x y x 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy x y   y x 0.25 x y   x  y  x  y (vì x > 0, y > 0) y x x y 3a a   Đặt a   , ta co M  a   y x a 4 a x y 3a  ; Vì a    nên y x b Ta co a   a   a a 3a a 5    1 ; M   a   x  y Do đo M  a   a 4 a 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng và chỉ x  y Hình ve x Dấu "=" xảy  0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 I F M H E K A O B Ta co M, E nằm nửa đường tròn đường kính AB nên · · a FMK  900 và FEK  900 Vậy điểm F, E, K, M cùng nằm đường tròn đường kính FK Ta co HAK cân tại A nên AH = AK (1) K là trực tâm của AFB nên ta co FK  AB suy FK // AH (2) · · · · Do đo FAH (gt) ·AFK  FAK  ·AFK mà FAH  FAK b Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) Từ (2) và (3) ta co AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK  IB suy HF  IB c Chu vi của AMB  CAMB  MA  MB  AB lớn nhất chỉ MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi) 2 Áp dụng bất đẳng thức  a  b    a  b  dấu "=" xảy 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25  a  b , ta co  MA  MB   2( MA2  MB )  AB 0.25 Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB và chỉ MA = MB hay M nằm giữa cung AB 0.25 Vậy M nằm giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất Khi đo CAMB  MA  MB  AB  AB  AB  (1  2) AB  R(1  2) x x x x Đặt A    1      3    , ta co x A là tích của sớ tự nhiên liên tiếp nên x A chia hết cho Nhưng x không chia hết cho 5, đo A chia hết cho x x x x y Nếu y  1, ta co   1      3     chia hết cho mà 11879 không chia hết y  không thỏa mãn, suy y = Khi đo , ta co   1      3      11879 x x x x 0.25 0.25 0.25 y   x  1  x    x    x     11879   x  1  x    x  3  x    11880   x  1  x    x    x    9.10.11.12  x  Vậy x  3; y  là hai giá trị cần tìm 0.25 0.25