011 đề hsg toán 7 huyện nga sơn 2009 2010

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi: TỐN Câu ( điểm) Tìm x biết: 13  13  a ) 7,5 x :    2 21  25  c ) x  x 2 160 b)  3x  1  46 2.33 d) x   x  3x Câu (3 điểm) So sánh: 500 300 a)         b)  243   83  13 1019  1020  P  20 Q  21 10  10  c) Câu (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng bình phương 1201; số thứ số thứ hai có tỉ lệ 4; số thứ số thứ ba tỉ lệ với Câu (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng: a) BH = CK b) MBH MAK c) Tam giác MHK tam giác vuông cân 2 d) Khi E di động đoạn thẳng MC BH  CK ln khơng đổi Câu (1 điểm) Cho ba số phương x; y; z Chứng minh A  x  y   y  z   z  x  12 ĐÁP ÁN HSG NGA SƠN 2009-2010 Câu 13  13 50 63 63 50  7,5 x :    2  7,5 x :   7,5 x   x  21  25 21 25 25 21  a) Vậy x b)  3x  1  46 2.33  3x  1  46 54   3x  1 100   x  1 10 2 3x  10 x   10 11 x  10  x  *Nếu *Nếu 3x   10  x  11 x  ; x  3 Vậy c) x   22  160  x 32  x 5 x d) Vậy x 5  x  3x (*) *) Xét x   VT 0 , VP < nên khơng có giá trị x thỏa mãn *) Xét x 0  x 1 x  x  ; x  x  0 2 x   nên 1 x   x  3x  x 2 2 Khi (*) trở thành: Vậy x 2 Câu a) Ta có: 3500  35  100 243100 500 300 100 100 Vì 243  343 nên  ;7300  73  100 343100 500 300 Vậy  9 45 52 13 13      1  1  1  1                   b) Ta có:  243           81   83     1     Vậy  243   83  13 13 10 20  10 10 P  20 1  20 (1) 10  10  1021  10 10Q  21 1  21 (2) 10  10  c) Ta có 9  Vì 10  10 1 nên từ (1) (2) suy 10 P  10Q  P  Q 20 21 Vậy P > Q Câu Gọi số tự nhiên cần tìm x, y, z Theo đề ta có: x y x z x y z      15 20 24 x y z   k (k 0)  x 15k ; y 20k ; z 24k Đặt 15 20 24 2  x  y  z  15k    20k    24k  1201k 1201  k 1  k 1(Vi k 0)  x 15; y 20; z 24 Vậy x 15; y 20; z 24 ba số phải tìm Câu A H E B M C K a) Xét ABH CAK có:  K  900 ( gt ); AB  AC ( gt ) ; ABH CAK   H (cùng phụ với BAH )  ABH CAK (ch  gn)  BH  AK   b) Dễ thấy ABM AMC (cgc)  AMB  AMC 0     Mà AMB  AMC 180  AMB  AMC 90  AM  BC  Do ABC vuông cân nên ABC 45  AMB vuông cân M  MA MB Xét MBH MAK có: BH  AK (chứng minh câu a)    MBH MAK (cùng phụ với AEB) ; MA = MB (chứng minh trên)  MBH MAK (c.g c)   HMB c) Theo câu b) MBH MAK  MH MK KMA (1) 0       Mà HMB 90  HMA ; KMA KMH  HMA  KMH 90 (2) Từ (1) (2)  MKH vuông cân M d) Khi E khác M C Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ACK ta có: AK  KC  AC mà AK BH  AK BH  BH  KC  AC không đổi 2 2 2 *Khi E trùng với C BH  CK  AB   AB  AC 2 2 *Khi E trùng với M BH  KC MA  MC  AC 2 Vậy E di động đoạn thẳng MC tổng BH  KC không đổi Câu Theo đề x; y; z số phương Mà số phương chia cho cho có thê dư dư Do số phương x; y; z chia cho phải có hai số có số dư, nên số x  y; y  z; z  x phải có số chia hết cho suy  x  y   y  z   z  x  3 Chứng minh tương tự ta có  x  y   y  z   z  x  4 Mà  3,  1 nên A  x  y   y  z   z  x  12