PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi: TỐN Câu ( điểm) Tìm x biết: 13 13 a ) 7,5 x : 2 21 25 c ) x x 2 160 b) 3x 1 46 2.33 d) x x 3x Câu (3 điểm) So sánh: 500 300 a) b) 243 83 13 1019 1020 P 20 Q 21 10 10 c) Câu (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng bình phương 1201; số thứ số thứ hai có tỉ lệ 4; số thứ số thứ ba tỉ lệ với Câu (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng: a) BH = CK b) MBH MAK c) Tam giác MHK tam giác vuông cân 2 d) Khi E di động đoạn thẳng MC BH CK ln khơng đổi Câu (1 điểm) Cho ba số phương x; y; z Chứng minh A x y y z z x 12 ĐÁP ÁN HSG NGA SƠN 2009-2010 Câu 13 13 50 63 63 50 7,5 x : 2 7,5 x : 7,5 x x 21 25 21 25 25 21 a) Vậy x b) 3x 1 46 2.33 3x 1 46 54 3x 1 100 x 1 10 2 3x 10 x 10 11 x 10 x *Nếu *Nếu 3x 10 x 11 x ; x 3 Vậy c) x 22 160 x 32 x 5 x d) Vậy x 5 x 3x (*) *) Xét x VT 0 , VP < nên khơng có giá trị x thỏa mãn *) Xét x 0 x 1 x x ; x x 0 2 x nên 1 x x 3x x 2 2 Khi (*) trở thành: Vậy x 2 Câu a) Ta có: 3500 35 100 243100 500 300 100 100 Vì 243 343 nên ;7300 73 100 343100 500 300 Vậy 9 45 52 13 13 1 1 1 1 b) Ta có: 243 81 83 1 Vậy 243 83 13 13 10 20 10 10 P 20 1 20 (1) 10 10 1021 10 10Q 21 1 21 (2) 10 10 c) Ta có 9 Vì 10 10 1 nên từ (1) (2) suy 10 P 10Q P Q 20 21 Vậy P > Q Câu Gọi số tự nhiên cần tìm x, y, z Theo đề ta có: x y x z x y z 15 20 24 x y z k (k 0) x 15k ; y 20k ; z 24k Đặt 15 20 24 2 x y z 15k 20k 24k 1201k 1201 k 1 k 1(Vi k 0) x 15; y 20; z 24 Vậy x 15; y 20; z 24 ba số phải tìm Câu A H E B M C K a) Xét ABH CAK có: K 900 ( gt ); AB AC ( gt ) ; ABH CAK H (cùng phụ với BAH ) ABH CAK (ch gn) BH AK b) Dễ thấy ABM AMC (cgc) AMB AMC 0 Mà AMB AMC 180 AMB AMC 90 AM BC Do ABC vuông cân nên ABC 45 AMB vuông cân M MA MB Xét MBH MAK có: BH AK (chứng minh câu a) MBH MAK (cùng phụ với AEB) ; MA = MB (chứng minh trên) MBH MAK (c.g c) HMB c) Theo câu b) MBH MAK MH MK KMA (1) 0 Mà HMB 90 HMA ; KMA KMH HMA KMH 90 (2) Từ (1) (2) MKH vuông cân M d) Khi E khác M C Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ACK ta có: AK KC AC mà AK BH AK BH BH KC AC không đổi 2 2 2 *Khi E trùng với C BH CK AB AB AC 2 2 *Khi E trùng với M BH KC MA MC AC 2 Vậy E di động đoạn thẳng MC tổng BH KC không đổi Câu Theo đề x; y; z số phương Mà số phương chia cho cho có thê dư dư Do số phương x; y; z chia cho phải có hai số có số dư, nên số x y; y z; z x phải có số chia hết cho suy x y y z z x 3 Chứng minh tương tự ta có x y y z z x 4 Mà 3, 1 nên A x y y z z x 12