Đề HSG Toán 9 huyện Hoàng Hóa 2012201342880

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 MƠN THI: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/ 11/ 2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 1 x x x Bài 1: (4,0điểm) Cho biểu thức B =   x 1  x x 1  x x 1 a Rút gọn biểu thức B b Tìm x để B > 53 c Tìm giá trị B x  92 Bài 2: (4,0điểm) PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ a Giải phương trình: x   x   1  x  x   b Chứng minh 10 số vô tỉ Bài 3: (3,0điểm) a Vẽ đồ thị hàm số y  x  b Xác định tọa độ giao điểm đồ thị hàm số câu a với đồ thị hàm số y = 3x – Bài 4: (4,0điểm) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M N cho OM = ON Qua M N vẽ dây CD EF song song với (C, E thuộc nửa đường tròn đường kính AB) a Chứng minh tứ giác CDFE hình chữ nhật b Cho OM  R , góc nhọn CD OA 600 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE Bài 5: (2,0điểm) Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác Bài 6: (3,0điểm) a Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: a  b  c  abc(a + b+ c) abc  n  b Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho  cba  (n  2) Với n số nguyên lớn Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị: Số báo danh: Chữ kí giám thị: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌCSINH GIỎI LỚP HUYỆN HOẰNG HĨA Năm học: 2012-2013 MƠN THI: TỐN Bài Hướng dẫn a (2đ) ĐKXĐ : x > 1 x   B= x 1  x x 1  x x   x  x   x x( B=  ( x   x )( x   x ) x x x 1 x  1) x 1 x 1 x 1 B = x  x 1 Bài b (1đ) Với x > ta có : B >  x  x    x  x 1 4đ  x  4( x  1)  ( x  2)  (*) (*) với x  Vậy B > x > x  53 53(9  7) c (1đ) x   92 81  28 92 B= Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ thay vào B = x  x  ta có: B =       2(  1)  53 Vậy với x  B = 92 Bài a.(2đ) Đk : x  4đ x   x   1  x  x   0,25đ  ( x   2)  ( x   2)  0,5đ  x5 2   x     x   (1) 0,25đ 0,25đ x5 2  0,25đ Áp dụng bất đẳng thức A  B  A  B vào (1) ta có : x5 2  2 x5  x5 22 x5  Dấu xảy  ( x   2).(2  x  5)   (2  x  5)  (vì x    0)  2 x5  x9 Kết hợp với điều kiện, ta có  x  Vậy nghiệm phương trình :  x  http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ b Giả sử: 10 số hữu tỉ Đặt 10  a (a, b  N* ,UCLN(a;b)=1) b a2   10  a  10b  a 5  a5  a  25 b  10b  25  b 5  b5 Khi ƯCLN(a;b)  mâu thẫn với ƯCLN(a;b) = Vậy 10 số vô tỉ a (1,5đ) Vẽ đồ thị hàm số y  x  0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ y  2 x  x  - y  2x    2 x  x<   0,5đ 0,5đ Nhận xét y  với x Ta có đồ thị hàm số : Bài (3đ)  O Vẽ đồ thị b.(1,5đ) Giả sử M(x0 ; y0) tọa độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số y  x  y = 3x – ta có : x0   x0  đk : x0  TH1: x0   x0   x0  ( nhận) TH2: x0   3 x0   x0  ( loại) Với x0 = y0 = 13 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm M(6 ; 13) Bài (4đ) C E H N A M B O K D F http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25đ 0,5đ ThuVienDeThi.com x 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a (2đ) Vẽ OH vuông góc với CD, OH cắt EF K, suy HK vng góc với EF ( CD // EF) Suy HC = HD; KE = KF Ta chứng minh HOM  KON ( cạnh huyền - góc nhọn) Suy OH = OK, suy CD = EF, từ suy tứ giác CDEF hình bình hành Lại có KH đường trung bình hình bình hành CDFE, nên HK // ฀ ฀ CE, suy ECD  KHD  900 Vậy tứ giác CDFE hình chữ nhật R ฀ b (2đ) Ta có OH  OM SinHMO  R.Sin600  3 2R CE  HK  2.OH  3R R 2 2 CH  OC  OH  R   9 R 2R  CD  Suy CH  3 2R 2R 2R2 Vậy SCDFE  CE.CD  (đvdt)  3 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ A E B I D C Giả sử ngũ giác ABCDE thoả mãn đk toán BCD ECD có SBCD = SECD = 1, đáy CD chung nên đường Bài cao hạ từ B E xuống CD => EB // CD 0,5đ (2đ) Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA // BC 0,25đ Gọi I = EC  BC => ABIE hình bình hành 0,25đ => SIBE = SABE = Đặt SICD = x < => SIBC = SBCD - SICD = 1-x = SECD - SICD = SIED 0,25đ S IC S IBC x 1 x  hay  => x2 - 3x + = Lại có ICD  S IDE IE S IBE 1 x 3 3 x < => x = 2 1 Vậy SIED = Do SABCDE = SEAB + SEBI + SBCD + SIED 1  = 3+ = (đvdt) 2 => x = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com a (1,5đ )Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2  2xy, ta có: 1 a  b  c  (a  b )  (b  c )  (c  a ) 2 2 2 2  a b  b c  c a (1) Mặt khác : 1 a 2b  b 2c  c a  a (b  c )  b (c  a )  c (a  b ) 2 2 2  a bc  b ca  c ab  abc(a  b  c) (2) Từ (1) (2) ta có a  b  c  abc(a + b+ c) (đpcm) Bài (3đ) b (1,5đ ) abc  100a  10b  c  n  (1) cba  100c  10b  a  (n  2)  n  4n  (2) Từ (1) (2) ta có: 99(a  c)  4n   (4n  5)99 (3) 100  n   999  101  n  1000  11  n  31 Mặt khác  39  4n   119 (4) Từ (3) (4)  4n   99  n  26 Vậy abc  675 Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,2đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ...  4n  (2) Từ (1) (2) ta có: 99 (a  c)  4n   (4n  5)? ?99 (3) 100  n   99 9  101  n  1000  11  n  31 Mặt khác  39  4n   1 19 (4) Từ (3) (4)  4n   99  n  26 Vậy abc  675 Chú... > x  53 53 (9  7) c (1đ) x   ? ?9? ??2 81  28 9? ??2 B= Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ thay vào B = x  x  ta có: B =       2(  1)  53 Vậy với x  B = 9? ??2 Bài a.(2đ)... HK // ฀ ฀ CE, suy ECD  KHD  90 0 Vậy tứ giác CDFE hình chữ nhật R ฀ b (2đ) Ta có OH  OM SinHMO  R.Sin600  3 2R CE  HK  2.OH  3R R 2 2 CH  OC  OH  R   9 R 2R  CD  Suy CH  3 2R 2R