Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P.. a) Chứng minh rằng: NP song song với BC.[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012
Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút Câu (5 điểm):
a) Cho a b số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: a2b27.
Chứng minh a b chia hết cho b) Cho A = n2012 + n2011 + 1
Tìm tất số tự nhiên n để A nhận giá trị số nguyên tố Câu (4.5 điểm)
a) Giải phương trình:
4
2
x x x
x x x
b) Cho x, y, z số thực khác thỏa mãn: xy + yz + zx =
Tính giá trị biểu thức:
2 2
yz zx xy M
x y z
Câu (4.5 điểm)
a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh rằng:
2 2 3
x y z
b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 3
2 2 2
a b c
P
a b b c c a
Câu (6.0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) dây BC cố định không qua O Từ điểm A tia đối tia BC vẽ tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M N tiếp điểm, M nằm cung nhỏ BC) Gọi I trung điểm dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P
a) Chứng minh rằng: NP song song với BC
b) Gọi giao điểm đường thẳng MN đường thẳng OI K Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn
Hết
-ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hố
ĐỀ CHÍNH THỨC
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN 2012 Câu 1:a) Nhận xét: a không chia hết cho a2 chia cho dư 1,2,4
thực a khơng chi hết cho a có dạng a=7k1,a=7k2,a=7k3 từ nhận xét
*) a không chia hết cho b không chia hết cho a2+b2 chia cho dư
2,3,4,6 ( 1)
*)Nếu a7 b khơng chia hết cho a2+b2 khơng chia hết cho (2)
*)Nếu a không chia hết cho b a2+b2 khơng chia hết cho 7(3)
Từ (1), (2) (3) suy a b phải chia hết cho b) A = n2012 + n2011 + 1
Nếu n=0 => A = 1(loại) Nếu n = => A =3( thoả mãn) Nếu n > A>
Xét A = n2012 + n2011 + 1
=> A=[(n670)3-1]n2 + [(n670)3-1]n +n2 + n + 1
=> A( n2 + n + 1) mà A> n2 + n + nên A hợp sơ
Vậy n= A nhận giá trị số nguyên tố Bài 2:a)
4
2
4
2
x x x
x x x
x x x
x x x
Đặt
1
2
u x
x
v x
x
=> u2-v2=
4
x x
Thay vào phương trình ban đầu ta có : u2-v2+u-v=0
<=> (u-v)(u+v+1)=0 <=> u-v=0 ( u+v+1>0)
=>x=2 x=-2 cách thử trưc tiếp ta thấy x= thoả mãn tốn b)nhận xét a+b+c=0 a3+b3+c3=3abc
áp dụng nhận xét vào biểu thức M ta có
3 3
2 2 2
( ) ( ) ( ) 3( )
3
( ) ( )
yz zx xy yz yx xz xyz
M
x y z xyz xyz
Bài 3:a) Từ x2+12x
y2+12y
z2+12z
2(x2+y2+z2) 2(xy+yz+xz)
cộng BĐT ta có
3(x2+y2+z2)+3 2(x+y+z+xy+yz+xz)
=>x2y2z2 3(ĐPCM)
(3)b)Xét
3 2
2 2 2 2
a ab ab b
a a a
a b a b ab
Tương tự:
3
2 2
b c
b b c ,
3
2 2
c a
c c a
cộng BĐT ta có
3 3
2 2 2
3
2
a b c a b c
P
a b b c c a
vậy giá trị nhỏ P 3/2 a=b=c=1 Câu 4:
K
I
C
O
P
N B
M
A
Câu a)
Ta có điểm A,M,I,O,N thuộc đường trịn bán kính OA =>
( )
2
AIM AMO sd AM
(1)
Mặt khác NOM 2AOM mà 2AOM NPM (2) từ (1) (2) => AIM NPM
=> BC//NP Câu b:
SOKN=1/2OK.KN
2 2
1
2
OK ON R
Vậy điện tích lơn tam giác ONK R2/4 MO = MA