ĐA HSG TOAN 9 huyện BÁ THƯỚC 2010 - 2011

TRƯỜNG THCS ĐIỀN HẠ PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 26/11/2010 Thời gian làm bài 150 phút HƯỚNG DẪN GIẢI CâuI: (5.0 Đ) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x 2 + 6x - 7 ; 50x 2 - 10x - 98y 2 - 14y HD a) x 2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1) b) 50x 2 - 10x - 98y 2 - 14y = 2(5x + 7y)(5x - 7y - 1) 2) Giải và biện luận BPT: m 2 x - 2x - m -1 ≤ mx HD m 2 x - 2x - m -1 ≤ mx ⇔ (m + 1)(m - 2)x ≤ m - 1 *Biện luận các trường hợp: (m + 1)(m - 2) = 0; (m + 1)(m - 2) > 0; (m + 1)(m - 2) < 0 CâuII:(5 Đ) Cho bt 2x x 1 A = . 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x   + − + − − +  ÷  ÷ − − + − −   a) Tìm ĐK để bt A có nghĩa’ b) Rút gọn bt A c) Tính giá trị của bt A với (5 2 6)(49 20 6). 5 2 6 16. 9 3 11 2 x + − − = − HD a) Ta có với x 0≥ thì 2 1 3 1 ( ) 0 2 4 x x x+ + = + + > Bt A có nghĩa khi 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x x x x x x x ≥   − ≠   + − ≠   − ≠   − ≠  ( ) ( ) 0 ( 1)( 1) 0 1 2 1 0 1 1 4 x x x x x x x x  ≥   − + + ≠   ⇔ + − ≠   ≠   ≠   0 1 1 4 x x x   ≥  ⇔ ≠    ≠  b)Với ĐK 0 1 1 4 x x x   ≥  ⇔ ≠    ≠  (*) 2x x 1 A = . 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x   + − + − − +  ÷  ÷ − − + − −   Giáo viên Lê Văn Lâm 1 Đề chính thức TRƯỜNG THCS ĐIỀN HẠ x (2 x 1) ( 1) 1 A = . 1 ( 1)( 1) 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x   + − + − − +  ÷  ÷ − − + + + − −   x (2 x 1) 1 ( 1) 1 A = . . 1 ( 1)( 1) 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x   + − − + − − +  ÷  ÷ − − + + + − + − −   x ( 1) ( 1) A = . . ( 1) ( 1)(2 1) 2 1 x x x x x x x x x   + + − +  ÷  ÷ + + + − −   x ( 1) A = ( 1) 1 x x x x x x x + + = + + + + A = 1 x x x x + + + c)Theo trên ĐK 0 1 1 4 x x x   ≥  ⇔ ≠    ≠  (*) và A = 1 x x x x + + + ; Ta có viết 1 A = 1 1 1 x x x x x x + = − + + + + Và theo đề bài (5 2 6)(49 20 6). 5 2 6 16. 9 3 11 2 x + − − = − 2 (5 2 6)(5 2 6) . 5 2 6 16. 9 3 11 2 x + − − = − 2 4 5 2 6 (5 2 6) . ( 3 2)( 3 2) 16. 9 3 11 2 9 3 11 2 + − + − = = − − 3 ( 3 2) (9 3 11 2) 16. (9 3 11 2)(9 3 11 2) − + = − + (9 3 11 2)(9 3 11 2) 16. 16 (9 3 11 2)(9 3 11 2) − + = = − + Suy ra x = 16, nên 4x = Vậy A = 1- 1 21 = 20 21 CâuIII:(3.0 Đ) 1)Tìm các số nguyên x, y, z sao cho x 2 +5y 2 +10z 2 < 4xy+6yz+2z 2)Cho ba số a, b, c khác 0 thõa mãn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 b c a a c b b a c bc ac ab + − + − + − + + = CMR trong ba phân thức trên có hai phân thức bằng 1 còn phân thức còn lại bằng - 1. HD 1) Ta có: x 2 +5y 2 +10z 2 < 4xy+6yz+2z <=> (x-2y) 2 +(y-3z) 2 +(z-1) 2 < 1 Vì x, y, z Z∈ nên 0 ≤ (x-2y) 2 Z∈ ; 0 ≤ (y-3z) 2 Z∈ ; 0 ≤ (z-1) 2 Z∈ Nên (x-2y) 2 +(y-3z) 2 +(z-1) 2 Z∈ và 0 ≤ (x-2y) 2 +(y-3z) 2 +(z-1) 2 < 1 Điều này chỉ xảy ra khi (x-2y) 2 =0, (y-3z) 2 =0, (z-1) 2 = 0 Giải ra ta được z = 1, y = 3, x = 6 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 b c a a c b b a c bc ac ab + − + − + − + + = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 b c a a c b a b c bc ac ab + − − − − − ⇔ + + = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 2 2 2 b c a b c a a c b a c b a b c a b c bc ac ab + − + + − − − + − − − + ⇔ + + = Giáo viên Lê Văn Lâm 2 TRƯỜNG THCS ĐIỀN HẠ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0 2 2 2 b c a a c b a b c a c b bc ac ab − + + − + − + ⇔ − − + + = ( )( )( ) 0 2 a c b b c a b c a abc − − − − − + ⇔ = 0 (1) 0 (2) 0 (3) a c b b c a b c a − − =   ⇔ − − =   − + =  Nếu 0 (1)a c b− − = ta suy ra a = b+c; b = a - c; c = a - b ta được 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0; 0; 0 2 2 2 b c a a c b a b c bc ac ab + − − − − − = = = Hay 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1; 1; 1 2 2 2 b c a a c b b a c bc ac ab + − + − + − = − = = Hoàn toàn tương tự xét (2) hoặc (3) ta luôn được trong ba phân thức trên có hai phân thức bằng 1 còn phân thức còn lại bằng - 1. (ĐPCM) Câu IV: (5.0 Đ) Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d đi qua A cắt lần lượt BD, BC, DC ở E, K, G. CMR: 1/AE 2 = EK.EG và 1 1 1 AE AK AG = + 2/Tích BK.DG có giá trị không đổi khi đường thẳng d thay đổi vị trí. 3/Tính diện tích hình bình hành ABCD. Biết BK.DG = 50cm 2 và góc ADC bằng 30 0 HD +) AK ên ta có: (1) GA A B BK K AB A G G D D D A n = = :V V + ên ta có: AE G ( E 2) AB GD ABE GDE BE n DE = = :V V ên ta có: ( K A 3) E E KEB AED EB n ED KB AD == :V V Giáo viên Lê Văn Lâm 3 TRƯỜNG THCS ĐIỀN HẠ Từ (1), (2)và (3) ta suy ra AE GE KE AE = Hay AE 2 = EK.EG (đpcm) Lại có (4) AE DE AK BD = Và (5) AE BE AE BE AE BE Hay EG ED EG AE ED BE AG BD = ⇒ = = + + Từ (4) và (5) ta suy ra 1 AE AE DE BE DE BE AK AG BD BD BD + + = + = = Từ 1 AE AE AK AG + = ⇒ 1 1 1 AE AK AG = + (đpcm) 2/ Ta có AK ên ta có: . . GA BK AB AD GD ABK GDA n suy ra BK GD AB AD= == :V V ta có tích BK.DG = AB.AD khi đường thẳng d thay đổi vị trí; Hình bình hành ABCD cố định nên tích AB.AD cố định suy ra BK.DG = AB. AD cố định 3/ Theo gt BK.DG = 50 cm 2 , theo trên ta có AB. AD = BK. DG =50 cm 2 Từ C kẻ CH vuông góc với AD (H ∈ AD), xét µ · 0 0 ó H 90 , 30CHD c ADC= =V nên ta suy ra CH = 1 2 CD mà CD = AB nên CH = 1 2 AB S ABCD = AD.CH = AD. 1 2 AB = 2 . 50 25( ) 2 2 AD AB cm= = Vậy S ABCD = 25 cm 2 CâuVI. (2.0 Đ) Trên một đường tròn cho 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kỳ trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu tím hoặc màu vàng. CMR tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu. HD Ta có 6 điểm trên , có tính chất 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng, hay ba điểm bất kỳ lập thành một tam giác. Lại có mỗi đoạn thẳng có màu tím hoặc màu vàng. Xét một điểm A 0 trong 6 điểm tùy ý đó, khi đó từ 5 điểm còn lại ta chứng tỏ tồn tại 3 đỉểm nối với A 0 hoặc là màu tím hoặc là màu vàng Chẳng hạn, A 1 , A 2 , A 3 nối với A 0 hoặc là màu tím hoặc là màu vàng Giả sử A 1 , A 2 , A 3 nối với A 0 là màu tím thì: +) Nếu hai trong ba điểm A 1 , A 2 , A 3 nối với nhau màu tím , ví dụ như A 1 , A 2 thì khi đó tồn tại tam giác A 1 A 2 A 0 có các cạnh cùng màu; +) Ngược lại, ba điểm A 1 , A 2 , A 3 nối với nhau bởi vàng thì khi đó tồn tại tam giác A 1 A 2 ,A 3 cùng màu Như vậy trong mọi trường hợp luôn tồn tại tam giác có các cạnh cùng màu (ĐPCM) Giáo viên Lê Văn Lâm 4 . tích đa thức thành nhân tử: a) x 2 + 6x - 7 ; 50x 2 - 10x - 98 y 2 - 14y HD a) x 2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1) b) 50x 2 - 10x - 98 y 2 - 14y = 2(5x + 7y)(5x -. - 7y - 1) 2) Giải và biện luận BPT: m 2 x - 2x - m -1 ≤ mx HD m 2 x - 2x - m -1 ≤ mx ⇔ (m + 1)(m - 2)x ≤ m - 1 *Biện luận các trường hợp: (m + 1)(m - 2)