Sở Gd&Đt Nghệ an kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs năm học 2008 - 2009 Môn thi: Toán - Bảng B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu 1 (4,5 im). a) Cho A = k 4 + 2k 3 16k 2 2k + 15 vi k Z. Tỡm iu kin ca k A chia ht cho 16. b) Tỡm giỏ tr ln nht ca phõn s m t s l mt s cú ba ch s, cũn mu s l tng cỏc ch s ca t s. Cõu 2 (5,5 im). a) Gii phng trỡnh: 2 x x 2 1 16x 2 + = b) Giải hệ phơng trình: 2 2 x y xy 9 x y xy 3 + + = + + = Cõu 3 (3,0 im). Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = + + + + + 2 2 2 1 1 1 1 P xy yz xz x y z Cõu 4 (5,5 im). Cho ng trũn (O; R), hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi nhau. E l mt im trờn cung nh AD (E khụng trựng vi A v D). Ni EC ct OA ti M; ni EB ct OD ti N. a) Chng minh rng: AM.ED = 2 OM.EA b) Xỏc nh v trớ im E tng OM ON AM DN + t giỏ tr nh nht. Cõu 5 (1,5 im). Cho tam giỏc ABC, ly im C 1 thuc cnh AB, A 1 thuc cnh BC, B 1 thuc cnh CA. Bit rng di cỏc on thng AA 1 , BB 1 , CC 1 khụng ln hn 1. Chng minh rng: ABC 1 S 3 (S ABC l din tớch tam giỏc ABC). - - - - - Hết - - - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2008 - 2009 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán - bảng B CâuNội dungĐiểm14,5a/ 2,5Cho A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 với k Z Vì k Z ta xét các trờng hợp: TH1: k chẵn A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 là một số lẻ A không chia hết cho 2 A không chia hết cho 16 (loại) (1) 1,0 TH2: k lẻ, ta có: A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 = (k 2 - 1)(k 2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0 0,5b/ Gọi tử số của phân số là abc (0 < a 9, 0 b 9, 0 c 9, a, b, c N) nên phân số đó có dạng P = abc 90a 9c 90a 10 10 100 a b c a b c a = + + = + + + + suy ra P max = 100 khi b = c = 0, 0 < a 9, a N 2,025,5a/ 3,0Giải phơng trình x 2 - x - 2 1 16x 2+ = . ĐKXĐ: 1 x 16 Khi đó phơng trình x 2 - x = 2( 1 16x 1)+ + Đặt: 1 16x 1 2y+ + = ( 1 y 2 ) 1 + 16x = 4y 2 -4y + 1 4y 2 - 4y = 16x y 2 - y = 4x (*) Ta có: 2 2 y y 4x (x y)(x y 3) 0 x x 4y = + + = = x y 1 1 x y 3 0 (loại vì x - và y ) 16 2 = + + = Với x = y thay vào (*) x 2 - x = 4x x 2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 = = x 5 (thoả mãn) x 0 (loại) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5 0,25 2,25 0,5 b/ 2,5Ta có : 2 2 2 9 ( ) 9 3 ( ) 3 x y xy x y xy x y xy x y xy + + = + = + + = + + = (x + y) 2 + (x + y) 12 = 0 3 4 + = + = x y x y Nếu x + y = 3 x 0 y 3 x + y = 3 x y 3 Hệ đã cho x + y + xy = 3 xy 0 x 3 y 0 = = + = = = = Nếu x + y = -4 Hệ đã cho + = = x y 4 xy 7 (hệ vô nghiệm) Vậy hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) 1,0 1,0 0,5 33,0 áp dụng bất đẳng thức: + + + + 1 1 1 9 A B C A B C (với A, B, C > 0) với x, y, z > 0 ta có: + + + + 1 1 1 9 xy yz zx xy yz zx + + + + + 2 2 2 1 9 P x y z xy yz zx + + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 1 1 7 P ( ) x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx + + + + + + + + 2 2 2 9 7 x y z 2xy 2yz 2zx xy yz zx = 2 2 2 9 7 9 21 30 xy yz zx (x y z) (x y z) (x y z) + + + + + + + + + + (Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z) 2 và x + y + z = 1) Du "=" xy ra khi v ch khi và = = = 1 x y z 3 Vy P min = 30 = = = 1 x y z 3 1,0 1,0 1,0 45,5a/ 3,0XÐt ∆COM vµ ∆CED cã: = = 0 ˆ ˆ O E 90 ˆ C chung ⇒ ∆COM ∆CED (g-g) ⇒ = CO OM CE ED (1) Do AB, CD lµ 2 ®êng kÝnh vu«ng gãc víi nhau ⇒ = = 0 1 1 ˆ ˆ E A 45 XÐt ∆AMC vµ ∆EAC cã: = = 0 1 1 ˆ ˆ E A 45 ˆ C chung ⇒ ∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒ = AC AM CE AE mµ AC 2 CO= (do ∆ACO vu«ng c©n t¹i O) ⇒ = = AM 2 CO 2 OM AE CE ED (do (1)) ⇒ AM.ED = 2 OM.AE (§PCM) 1,0 S S N M D C O B A E 1 1 1,0 1,0b/ 2,5Tơng tự câu a ta có: BON BEA = BO ON BE EA BND BDE = = DN BD 2BO DE BE BE DN 2 ON DE EA = ON DN ON EA EA DN 2 DE 2 DE = = Từ câu a ta có: AM.ED = 2 .OM.AE = OM ED AM 2 EA = OM ON 1 . AM DN 2 mà + = = OM ON OM ON 1 2 . 2 2 AM DN AM DN 2 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi: = = = OM ON ED EA ED EA AM DN 2EA 2ED E là điểm chính giữa cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ nhất của + = OM ON 2 AM DN E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD 1,0 S S 0,5 1,051,5Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö ≥ ≥ ⇒ ≥ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ A B C A 60 TH1: ≤ < 0 0 ˆ 60 A 90 kÎ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC ABC 1 S CH.AB 2 ⇒ = mµ CH ≤ CC 1 ≤ 1 ta cã: 1 0 BB BK 1 1 2 AB SinA SinA SinA Sin60 3 = ≤ ≤ ≤ = ABC 1 2 1 S .1. 2 3 3 ⇒ ≤ = (1) TH2: 0 ˆ A 90≥ ⇒ AB ≤ BB 1 ≤ 1, CH ≤ CC 1 ≤ 1 ABC 1 1 1 S .1.1 2 2 3 ⇒ ≤ = < (2) Tõ (1) vµ (2) ABC 1 S 3 ⇒ ≤ 0,5 0,5 K H A B C A 1 B 1 C 1 0,5 Chó ý: ThÝ sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng cho ®iÓm tèi ®a. . Sở Gd&Đt Nghệ an kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs năm học 2008 - 20 09 Môn thi: Toán - Bảng B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu 1 (4,5 im). a). báo danh: Đề thi chính thức Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2008 - 20 09 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn:. (0 < a 9, 0 b 9, 0 c 9, a, b, c N) nên phân số đó có dạng P = abc 90 a 9c 90 a 10 10 100 a b c a b c a = + + = + + + + suy ra P max = 100 khi b = c = 0, 0 < a 9, a N 2,025,5a/ 3,0Giải