b Tỡm giỏ trị lớn nhất của phõn số mà tử số là một số cú ba chữ số, cũn mẫu số là tổng cỏc chữ số của tử số.. Cho đường trũn O; R, hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau.. Nối EC cắt
Trang 1Sở Gd&Đt Nghệ an kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs
năm học 2008 - 2009
Môn thi: Toán - Bảng B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (4,5 điểm)
a) Cho A = k4 + 2k3 −16k2 − 2k + 15 với k ∈ Z Tỡm điều kiện của k để A chia hết cho 16
b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của phõn số mà tử số là một số cú ba chữ số, cũn mẫu số là tổng cỏc chữ số của tử số
Cõu 2 (5,5 điểm)
a) Giải phương trỡnh: x2 − −x 2 1 16x 2+ = b) Giải hệ phơng trình:
x y xy 9
x y xy 3
Cõu 3 (3,0 điểm).
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
xy yz xz
x y z
Cõu 4 (5,5 điểm)
Cho đường trũn (O; R), hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau E là một điểm trờn cung nhỏ AD (E khụng trựng với A và D) Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N
a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2 OM.EA b) Xỏc định vị trớ điểm E để tổng OM ON
AM + DN đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 5 (1,5 điểm)
Cho tam giỏc ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA Biết rằng độ dài cỏc đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 khụng lớn hơn 1
Chứng minh rằng: ABC
1 S
3
≤ (SABC là diện tớch tam giỏc ABC)
- - - - - Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
Trang 2Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng B
-CâuNội dungĐiểm14,5a/
2,5Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ∈ Z Vì k ∈ Z ⇒ ta xét các trờng hợp:
TH1: k chẵn ⇒ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ
⇒ A không chia hết cho 2
⇒ A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0 TH2: k lẻ, ta có:
A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15)
= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ ⇒ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
⇒ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ với ∀ k ∈ Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0
0,5b/
Gọi tử số của phân số là abc (0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, 0 ≤ c ≤ 9, a, b, c ∈ N)
nên phân số đó có dạng P = abc 10 90a 9c 10 90a 100
−
suy ra Pmax = 100 khi b = c = 0, 0 < a ≤ 9, a∈ N
2,025,5a/
Trang 33,0Giải phơng trình x2 - x - 2 1 16x 2+ = ĐKXĐ: x 1
16
≥ − Khi đó phơng trình ⇔ x2 - x = 2( 1 16x 1)+ +
Đặt: 1 16x 1 2y+ + = ( y 1
2
⇔ 1 + 16x = 4y2 -4y + 1 ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*)
Ta có:
2
2
y y 4x
(x y)(x y 3) 0
x x 4y
− =
− =
x y
x y 3 0 (loại vì x - và y )
=
⇔
Với x = y thay vào (*) ⇒ x2 - x = 4x
⇔ x2 - 5x = 0 ⇔ x(x - 5) = 0
⇔ =x 5 (thoả mãn)x 0 (loại)=
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = 5
0,25
2,25
0,5
b/
2,5Ta có :
Trang 4⇒ (x + y)2 + (x + y) – 12 = 0 ⇔ + = −x y x y+ =34
Nếu x + y = 3
x 0
y 3
x + y = 3 x y 3
Hệ đã cho
x + y + xy = 3 xy 0 x 3
y 0
=
= + =
Nếu x + y = -4
⇒ Hệ đã cho ⇔ + = −=
x y 4
xy 7 (hệ vô nghiệm) Vậy hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0)
1,0
1,0
0,5
33,0 áp dụng bất đẳng thức: + + ≥
+ +
A B C A B C (với A, B, C > 0)
⇒ với x, y, z > 0 ta có: xy yz zx1 + 1 + 1 ≥ xy yz zx+ +9
P
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx ≥ 2 + + +2 2 + + + + +
x y z 2xy 2yz 2zx xy yz zx
30
xy yz zx (x y z) + ≥ (x y z) + (x y z) ≥
(Do 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2 và x + y + z = 1)
Dấu "=" xẩy ra khi v chà ỉ khi và x y z = = =1
3 Vậy Pmin = 30⇔ = = = x y z 1
3
Trang 51,0
1,0
45,5a/
3,0Xét ∆COM và ∆CED có:
0
ˆ ˆ
O E 90
ˆ
C chung
⇒∆COM ∆CED (g-g)
CE ED (1)
Do AB, CD là 2 đờng kính vuông
góc với nhau ⇒ = = 0
ˆ ˆ
E A 45 Xét ∆AMC và ∆EAC có: = =
0
ˆ ˆ
E A 45 ˆ
C chung
⇒∆AMC ∆EAC (g-g) ⇒ AC = AM
CE AE
mà AC= 2 CO (do ∆ACO vuông cân tại O)
AE CE ED (do (1))
⇒ AM.ED = 2 OM.AE (ĐPCM)
1,0
N M
D
C
O
B A
E 1 1
Trang 61,0b/
2,5T¬ng tù c©u a ta cã:
∆BON ∆BEA ⇒ BO = ON
BE EA
∆BND ∆BDE ⇒ DN = BD = 2BO
DE BE BE
DE = EA ⇒ ONEA = DN2 DE ⇒ ONDN = EA2 DE
Tõ c©u a ta cã: AM.ED = 2 OM.AE ⇒ OMAM = ED
2 EA ⇒ OM ON = 1
AM DN 2
mµ OM +ON ≥2 OM ON =2 1 = 2
DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi:
ED EA
⇔ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AD
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña OM +ON = 2
AM DN
⇔ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AD
1,0
Trang 71,051,5Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö
ˆ ˆ ˆ ˆ
A B C A 60
TH1: 600 ≤ <A 90ˆ 0
kÎ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC
ABC
1
2
mµ CH ≤ CC1 ≤ 1 ta cã:
1
0 BB
AB
SinA SinA SinA Sin60 3
ABC
S 1
TH2: A 90ˆ≥ 0 ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, CH ≤ CC1≤ 1 ABC
S 1.1
Tõ (1) vµ (2) ABC
1 S
3
0,5
0,5
K H
A
B1 C
1
Trang 8Chú ý: Thí sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa.