Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4 Bình Thuận Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho A = 2 332 x12 )x1()x1(.x11 −− −++−− 1. Rút gọn A 2. Tìm x biết A ≥ 2 1 Bài 2: (4 điểm) 1. Giải hệ phương trình: += += += )xz(8zx7 )zy(6yz5 )yx(4xy3 2. Giải phương trình: x 4 + 9 = 5x(3 – x 2 ) Bài 3: (4 điểm) 1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ab 2 ba ≥ + 2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy tích các số trong mỗi nhóm. Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất. Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. 1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD. 2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O). Bài 5: (3 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. HẾT HƯỚNG DẪN Bài 1: (4 điểm) 1. A xác định khi: –1 ≤ x ≤ 1 A = ( ) ( ) 2 2 2 x12 x12x1x1. 2 x1x1 −− −−−++ +−− = ( ) 2 x1x1.x1x1 −+++−− = ≤≤−− ≤≤ 0x1khix2 1x0khix2 2. A ≥ 2 1 Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì 2 1 x2 ≥ ⇔ 22 1 x ≥ Khi –1 ≤ x ≤ 0 thì 2 1 x2 ≥− ⇔ 22 1 x −≤ Vậy A ≥ 2 1 ⇔ 22 1 x1 −≤≤− hoặc 1x 22 1 ≤≤ Bài 2: (4 điểm) 1. Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ Nếu x ≠ 0 thì y và z ≠ 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho xy; yz; zx, ta được: += += += )xz(8zx7 )zy(6yz5 )yx(4xy3 ⇔ += += += x 1 z 1 8 7 z 1 y 1 6 5 y 1 x 1 4 3 ⇔ ++= += += += z 1 y 1 x 1 48 59 x 1 z 1 8 7 z 1 y 1 6 5 y 1 x 1 4 3 ⇔ = = = z 1 48 23 y 1 48 17 x 1 48 19 ⇔ = = = 23 48 z 17 48 y 19 48 x 2. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình cho x 2 , ta được: x 4 + 9 = 5x(3 – x 2 ) ⇔ 06 x 3 x5 x 3 x 2 =+ −+ − ⇔ −=− −=− 3 x 3 x 2 x 3 x ⇔ =−+ =−+ 03x3x 03x2x 2 2 ⇔ ±− = −= = 2 213 x 3x 1x (có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích) Bài 3: (4 điểm) 1. a, b > 0, ta có: ( ) 0ab2baba 2 ≥−+=− ⇔ ab 2 ba ≥ + 2. Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì: ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 2 10 .3 4 .5 2 .7 2 M = a + b ≥ 2 ab = 2.2 5 .3 2 .5.7 = 20160 Min M = 20160 ⇔ a = b = 10080 Và có ít nhất 4 cách chia như sau: Nhóm 1 Nhóm 2 2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14 8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12 2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12 2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9 Bài 4: (5 điểm) 1. ∆OCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù) I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO ⊥ AB tại O Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD 2. Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm) C ABDC = AB + 2(AC + BD) ⇒ x + y = 10 Mặt khác : OM 2 = MC.MD ⇒ xy = 16 Giải hệ: = =+ 16xy 10yx ta được = = ∨ = = 2y 8x 8y 2x Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm hoặc AC = 8cm và BD = 2cm Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích: S 1 = 40 (cm 2 ) Diện tích nửa hình tròn (O): S 2 = 8π (cm 2 ) Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn: S = S 1 – S 2 = 40 – 8π (cm 2 ) Bài 5: (3 điểm) Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của ∆ vuông. Khi đó: a, b, c ∈ N và a ≥ 5; b, c ≥ 3 Ta có hệ phương trình: ++= += )2()cba(3bc )1(cba 222 (1): a 2 = b 2 + c 2 = (b + c) 2 – 2bc = (b + c) 2 – 6(a + b + c) ⇔ a 2 + 6a + 9 = (b + c) 2 – 6(b + c) + 9 ⇔ (a + 3) 2 = (b + c – 3) 2 ⇔ a + 3 = b + c – 3 ⇔ a = b + c – 6 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6) ⇔ (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15 . Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/ 4 Bình Thuận Năm học 2008 -20 09 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho A = 2 332 x12 )x1()x1(.x11 −− −++−− 1 ++= += += += z 1 y 1 x 1 48 59 x 1 z 1 8 7 z 1 y 1 6 5 y 1 x 1 4 3 ⇔ = = = z 1 48 23 y 1 48 17 x 1 48 19 ⇔ = = = 23 48 z 17 48 y 19 48 x 2. Vì x = 0 không phải. sau: Nhóm 1 Nhóm 2 2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14 8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12 2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12 2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9 Bài 4: (5 điểm) 1. ∆OCD vuông tại O (OC và OD là phân