PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG II NĂM HỌC: 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu Cho biểu thức: P x x x x2 x x ( x 1)( x x ) a Rút gọn P b Tính P x 3 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x 10 x 27 x x b x x x x x 0 Câu a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy x 0 x 1 2x 1 b Cho x 1; y , chứng minh: 3 ( x 1) y y x c Tìm số tự nhiên n để: A n 2012 n 2002 số nguyên tố x y Câu Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 không đổi AE AF b Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF a Chứng minh: c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết./ PHỊNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt x x2 P x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) a x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) 0,25 x x 2x x x x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) 0.5 x 3 2 b x 2 ( 1) ( x 1) 1 1 2 1 ( x 1) 1 ĐK: x 0; x 1 : P c P ( x 1) x 1 2 1 ( x 1) x1 x1 0.25 2,25 0.25 0.25 0.25 Học sinh lập luận để tìm x 4 x 9 a Điểm 0,25 0.25 ĐK: x 6 : 0.25 VT x 10 x 27 ( x 5)2 2 , dấu “=” xẩy x 5 0.25 VP x x (12 12 )(( x ) ( x 4) ) VP 2 , dấu “=” xẩy 0.25 1 x x x 5 6 x x 0.25 VT VP x 5 (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x 5 ĐK: x 0 Nhận thấy: x 0 khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: 2 x x x x x 0 x b Đặt x 0.75 4 x 0 ( x ) ( x ) 0 x x x x 4 t t x x t , thay vào ta có: x x x t 3 (t 4) t 0 t t 0 (t 3)(t 2) 0 t Đối chiếu ĐK t t 3 x x 4 3 x x 0 ( x 2)( x 1) 0 x x 1 1,75 y xy x 0 x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp a x 0 0.5 x y 1 nên phải có số x 0 x y 2 Vậy có cặp số nguyên ( x; y) ( 1;1) ( x; y) ( 2; 2) x 1; y x 0; y x 1 0; 0; ( x 1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 3 1.1 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) x b 0.75 x 1 x 1 x 3( x 1) 2 3 1.1 y y y y 1 3 3 1.1 y y y y (1) (2) 2.0 (3) Từ (1); (2); (3): x 1 1 3( x 1) 6 3 ( x 1) y y x y y x 1 1 x 3x 2x x 3( ) 3 ( x 1) y y x y x y Xét n 0 A = khơng phải ngun tố; n 1 A = nguyên tố 0.25 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) c Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = 0.5 B A M M' 0.25 N N' P E K C Q D F H a b Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy AF = AK Trong tam giác vng: KAE có AD đường cao nên: 1 1 1 (không đổi) 2 hay 2 AK AE AD AF AE AD a 1 HS c/m S KEF KE.EF sin AEK KE.EF cos AKE 2 1 Mặt khác: S KEF EH KF EH ( KH HF ) Suy ra: 2 EH KH EH HF KE.EF cos AKE EH ( KH HF ) cos AKE KE.EF : EH KH EH HF K cos EKF K cos AKE sin EF sin EKF cosEF EF EK KE EF Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN 0.5 0,5 0,25 0,25 0,5 3.0 Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác NN’M cân N MN’ ' Cách dựng điểm N: phân giác DMM c - Dựng M’ đối xứng M qua AD 0.25 ' cắt DM’ N’ - Dựng phân giác DMM 0.25 0.25 - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh khơng trình bày phân tích mà trình bày cách dựng cho điểm tối đa d H I A P B K O D C 0.25 1.0 Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P HS lập luận BH + CI + DK = 4OP 0.25 0.25 Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt P A hay d vng góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa 0.25