022 đề hsg toán 8 cẩm thủy 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1.(4 điểm) Cho biểu thức  x  3x   6x  P     :  2  x  3x  x  27 x    x  x  3x  x  27  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị số nguyên tố c) Với x  P khơng nhận giá trị Bài (3 điểm) Giải phương trình : a )  x  1  x    x  3  x   297 2 x 1  x    x 1  b)   3    0  x 2 x  x  Bài (3 điểm) P 6  x  y   xy  20  x  y   16 a) Phân tích đa thức thành nhân tử : b) Chia 12 bánh mỳ cho 12 người Thanh niên người chiếc; người già người chiếc; em bé em Hỏi có niên, người già, em bé ? Biết theo cách chia số bánh mỳ chia vừa đủ cho số người ? Bài (3 điểm) 2 a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x  y   y  x b) Cho a, b, c số không đồng thời 0, thỏa mãn a  b  c 0 a2 b2 c2 Q   a   b2  c2  b2   a  c2  c2   b2  a  Tính giá tri biểu thức Bài (6 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M  CM  CD  , vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H , MP cắt BD K a) Chứng minh DH vng góc với BM Q PC PH KP   BC DH KM b) Tính c) Chứng minh MP.MK  DK BD DM Bài (1 điểm) Cho a, b, c  thỏa mãn abc ab  bc  ca 1    Chứng minh a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 ĐÁP ÁN Bài 1.(4 điểm) Cho biểu thức  x  3x   6x  P     :  2  x  3x  x  27 x    x  x  3x  x  27  d) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 3 Ta có :  x  3x   6x  P     :  2  x  3x  x  27 x    x  x  x  x  27    x  x  3   6x  :       x    x  3 x    x   x    x  3   x 3 x2   6x x   x    x  3 x  :   x   x    x  3 x  x  x  3 P x 3 x Vậy với x 3 e) Tìm giá trị ngun x để P có giá trị số nguyên tố x 3 x 3  1 Để P số nguyên tố x  x  x 3 1 x  3  x  3  Suy x  Ta có  x  3  x  3   x     x  3 Với x  , để  x     x  3  6 x  3  x   U (6)  1; 2; 3; 6 Ta có bảng sau: x x P 1 5 2 2 3 1 6 3 x   4;6;9 Mà P số nguyên tố kết hợp với ĐKXĐ tốn f) Với x  P khơng nhận giá trị Từ P x 3  P  x  3 x  x  Px  3P  x   x  P  1 3  P  1  x   P  1 P thỏa mãn yêu cầu  P  1 0 Với x  P  P 1  P   P 1     P     P 1  P 1  Vậy với x  P khơng thể nhận giá trị   P  Bài (3 điểm) Giải phương trình : a )  x  1  x    x  3  x   297   x  x    x  x  21  297 0   x  x  13    x  x  13    297 0   x  x  13 297  82 361  19   x  x  13 19    x  x  13  19  x 4  x    VN Vậy tập nghiệm phương trình S   8; 4 2 x 1  x    x 1  b)   3    0  x 2 x  x  ĐKXĐ: x 4, x 2, x  Đặt x  a, x  b, x  c Ta có phương trình : 2 a2 a 4b a a  2b        0     b2 c c2 b c  c  a c  ab 2c  12b  0  a 2c  4ab 2c  3ab 2c  12b 0 b2c   ac  3b   ac  4b  0 Thay x  a; x  b, x  c ta   x  1  x     x      x  1  x     x    0      x  19 x  12    x  x  16  0  x 3(tm)   x  (tm)   4 S 3;   5 Vậy tập nghiệm phương trình    47    x  3  x     x     0  4    Bài (3 điểm) c) Phân tích đa thức thành nhân tử : P 6  x  y   xy  20  x  y   16 P 6  x  y   xy  20  x  y   16 6  x  xy  y   xy  20  x  y   16 6 x  12 xy  y  xy  20 x  20 y  16 6 x  13 xy  y  20 x  20 y  16  x  xy  x    y  xy  12 y   12 x  y  16 2 x  x  y    y  y  x     x  y    x  y    3x  y   d) Chia 12 bánh mỳ cho 12 người Thanh niên người chiếc; người già người chiếc; em bé em Hỏi có niên, người già, em bé ? Biết theo cách chia số bánh mỳ chia vừa đủ cho số người ? Gọi số niên a, số người già b, số trẻ em c (người), (a,b,c  N*, a, b, c < 12) Khi đó, số bánh phát cho niên 2a b Số bánh phát cho người giả c Số bánh phát cho trẻ em b c 2a    12(2) Theo đề ta có: a+b+c=12 (1) Từ (2) ta có 8a  2b  c 48 a  b  c  7a  b 48 12  7a  b 48 (theo (1)) ⇒7a+b=36 Ta thấy số niên phải nhỏ số niên khơng có bánh chia cho người già trẻ em Do a 5 + TH1: a =1 suy b =29 (loại số bánh cần phát lớn 12 ) + TH2: a =2 suy b=22 (loại số bánh cần phát lớn 12 ) + TH3: a = suy b=15 (loại số bánh cần phát lớn 12) + TH4: a = suy b = (loại khơng có bánh phát cho trẻ em) + TH5: a = suy b=1, c=6 (thỏa mãn) Vậy có niên, người già trẻ em Bài (3 điểm) 2 c) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x  y   y  x x  y   y  x  x  x  y  y  0 1    x4  x2    4  1   y  y     4    x  y   x  y  1  2 1  1   x     y    2  2  Vì x, y   nên ta có bảng sau : x2  y 4 1 x2  y 1 1 4 x2  2(l ) 1(tm) 1(tm) y x 1 2 2 1  2(l )  (l )   l  2 2 1 Vậy cặp số nguyên thỏa mãn  x; y    1;   ,  1;   ,   1;3 ,  1;3  d) Cho a, b, c số không đồng thời 0, thỏa mãn a  b  c 0 a2 b2 c2 Q   a   b2  c2  b2   a  c2  c2   b2  a  Tính giá tri biểu thức 2 2 2 2 ĐKXĐ: a b  c ; b a  c ; c a  b Từ a  b  c 0 a  b  c  a   b  c  2bc     2 b  a  c   b   a  c  2ac   2 2 c  b  a  c   b  a  2ab Nếu a 0, b 0, c 0 khơng thỏa mãn điều kiện a b  c ; b a  c ; c a  b nên a, b, c 0 Khi a   b  c    b   a  c    c   b  a  Q a2 b2 c2   a   b2  c  b2   a  c  c   b  a  a2 b2 c2 a  b3  c3 3abc       a, b, c 0  2bc 2ac 2ab 2abc 2abc Bài (6 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M  CM  CD  H, CMNP DP  , vẽ hình vng (P nằm B C), cắt BD K A B K H P D C N M cắt BM MP d) Chứng minh DH vng góc với BM Xét KDM có : KDM  KMD 45  45 90 Suy KDM vuông K  MP  BD Xét BDM có BC  MD, MK  BD, BC cắt MK P  P trực tâm BMD  DP  BM hay DH  BM (dfcm) e) Tính Q PC PH KP   BC DH KM Ta có : DPM DBM có đáy MD  S DPM DC  S BDM BC S BPM PH S BPD KP  ,  Tương tự : S BDM DH SBDM MK PC PH KP S DPM  S BPM  S BPD Q    1 BC DH KM S BDM Khi : f) Chứng minh MP.MK  DK BD DM Xét KDM CPM có DKM PCM 90 ; KMD chung MK MC   MK MP MC MD MD MP BD DC BDC ∽ MDK ( g.g )    BD.DK DC MD MD DK Lại có MP.MK  DK BD MC.MD  DC.MD  MC  DC  MD DM  dfcm   KDM ∽ CPM ( g g )  Do Bài (1 điểm) Cho a, b, c  thỏa mãn abc ab  bc  ca 1    Chứng minh a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 1 abc ab  bc  ca    1 * a b c Từ Áp dụng bất đẳng thức Cosi – Schwarz ta *) 1 1 1        a  2b  3c a  b  b  c  2c  a  b b  c 2c   1 1 1 1  1               a b   b c  2c  36a 18b 12c *) 1 1 1        b  2c  3a b  c  c  a  2a  b  c c  a 2a  111 1 11 1  1               b c   c a  2a  18c 36b 12a 1 1 1  *)       c  2a  3b c  a  a  b  2b  a  c a  b 2b  11 1 1 1  1               a c   a b  2b  18a 12b 36c Khi từ (*) suy : 1 1 1 3 VT        VT  (dfcm)  a b c  16 Vậy 16