111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức P x5 x x 1 x x x2 x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=6 Bài (4,0 điểm) a) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn : 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b bc cd d a Chứng minh A abcd số phương b) Tìm a ngun để a 2a a chia hết cho a Bài (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x 1 x 1 b) Giải phương trình x x A x 1 x 1 x 3x 1 2017 2x 3 0 x Bài (3 điểm) 3 a) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a b c 3abc Chứng minh tam giác b) Cho x, y, z dương x y z 1 Chứng minh 1 9 x yz y xz z xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB, vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) b) c) d) Chứng minh AB 4 AC BD Kẻ OM vng góc với CD M Chứng minh AC CM Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Tìm vị trí C Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức P x5 x x 1 x x x2 x3 1 c) Rút gọn P x5 x x x x 4x2 x3 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 P x4 x4 1 x 1 x 1 x 1 d) Tìm giá trị x để P=6 x Điều kiện : P 6 x4 1 6 x 12 x x 1 x x 4 x 12 x x x x 2 x x 1 2(tm) x x x 1 4( ktm) Vậy x 1 Bài (4,0 điểm) c) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn : 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b bc cd d a Chứng minh A abcd số phương 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c cd d a a b c d a b c d 2 1 0 a b b c c d d a a b b c cd d a d a c b b d d b(c a ) 0 0 a b b c c d d a (a b)(b c ) (c d )(d a ) b c d d a d a b b c 0 b c a d a c 0 a b b c c d d a b c d d a d a b b c 0 abc acd bd b d 0 b d ac bd 0 ac bd 0 ac bd A abcd ac Vậy số phương d) Tìm a nguyên để a 2a 7a chia hết cho a 3 Thực chia a 2a 7a cho a Kết a 2a a a 3 a 4a Để phép chia hết 4a 1 a 3 4a 1 4a 1 a 3 16a 1 a 3 16a 49 a 3 49 a 3 Tìm a thử lại kết luận a 2;2 Bài (3,0 điểm) A x 1 x 1 x x 1 2017 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x 1 x 1 x 3x 1 2017 x x 1 x x 1 2017 x x 2017 x x 2016 2016 x 0 x x 0 x 3 Min A 2016 x 0; x Vậy Dấu xảy 2 x 1 x x 1 3 0 d) Giải phương trình x x x x 1 x 1 x 2 x x 2 2x 3 0 x 4 x 2 a 3b x 1 x 1 x 2 12 0 a 3b a 4b 0 a 4b x 2 x x 4 x 1 x 2 *)a 3b 3 x 1 x 3 x x x 16 0(VN ) x x x 3(tm) x 1 x 2 *)a 4b x 1 x x x (tm) x x 4 S 3; 5 Vậy tập nghiệm phương trình Bài (3 điểm) 3 c) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a b c 3abc Chứng minh tam giác Chứng minh: a b3 c3 3abc a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca 0 Từ giả thiết suy a b c ab bc ca 0 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0 2 a b b c c a 0 a b c Nên tam giác d) Cho x, y, z dương x y z 1 Chứng minh 1 9 x yz y xz z xy 2 Đặt a x yz; b y xz; c z xy a, b, c 0, a b c x y z 1 Chứng minh 1 1 9 a b c a b c 1 1 1 9 9 a b c a b c hay x yz y xz z xy (đpcm) Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB, vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D D I M C K A H O B e) Chứng minh AB 4 AC.BD Chứng minh OAC ∽ DBO( g g ) OA AC AB AB OA.OB AC.BD AC.BD AB 4 AC.BD DB OB 2 f) Kẻ OM vuông góc với CD M Chứng minh AC CM OC AC OAC ∽ DBO ( g g ) OD OB Theo câu a ta có OC AC OC OD OA OB OD OA AC OA Mà Chứng minh OAC ∽ DOC (c.g.c) ACO OCM Chứng minh OAC OMC (ch gn) AC MC (dfcm) g) Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Ta có : OAC ∽ OMC AO MO; CA CM Suy OC trung trực AM OC AM Mặt khác OA OM OB AMB vuông M Nên OC / / BM AM hay OC / / BI OM qua trung điểm AI suy IC=AC MK BK KH MH / / AI , theo hệ định lý Talet nên IC BC AC Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (đpcm) h) Tìm vị trí C Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ S ABDC AC BD AB Tứ giác ABDC hình thang vng nên Ta nhận thấy AC, BD > nên theo BĐT Cơ si ta có : AB AB S ABDC AB AB AC BD OA Dấu xảy AC DB 2 AC.BD 2 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A khoảng OA Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 a b c d c b d a b c c d d a a b b c d a c d a b a d a c b c b b a d d c a c ad bc b d ab dc 1 2 b c d a d c b a b c d a d c b a 4 F a c ad bc b d ab dc Theo bđt b c d a xy 2 x y Mặt khác : a b2 c d ab ad bc cd a b c d 2 a b c d 2ac 2bd a c b d 0 F 2 a c, b d Áp dụng với a 2016, b x, c y, d 2015 Ta có : 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Đẳng thức xảy x 2015, y 2016