090 đề hsg toán 8 thái thụy 22 23

111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức P x5  x  x 1 x  x   x2  x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=6 Bài (4,0 điểm) a) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn : 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b bc cd d a Chứng minh A abcd số phương b) Tìm a ngun để a  2a  a  chia hết cho a  Bài (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x 1  x 1      b) Giải phương trình  x   x  A  x  1  x  1  x  3x  1  2017  2x   3  0  x  Bài (3 điểm) 3 a) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a  b  c 3abc Chứng minh tam giác b) Cho x, y, z dương x  y  z 1 Chứng minh 1   9 x  yz y  xz z  xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB, vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) b) c) d) Chứng minh AB 4 AC BD Kẻ OM vng góc với CD M Chứng minh AC CM Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Tìm vị trí C Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức P x5  x  x 1 x  x   x2  x3 1 c) Rút gọn P x5  x  x  x  x   4x2  x3 1  x  x  1 x  1  x  1  x  x  1   x  1      x  1  x  1  x  1  x  x  1  x  1  x 1 x 1 P x4  x4 1    x 1 x 1 x 1 d) Tìm giá trị x để P=6 x  Điều kiện : P 6  x4 1 6  x  12 x  x 1  x  x  4 x  12 x    x    x    x  2 x   x 1  2(tm)   x   x    x  1  4( ktm) Vậy x 1  Bài (4,0 điểm) c) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn : 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b bc cd d a Chứng minh A abcd số phương 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c cd d a a b c d a b c d     2    1   0 a b b c c d d a a b b c cd d a d  a  c b b d d b(c  a )     0   0 a b b c c d d a (a  b)(b  c ) (c  d )(d  a )  b  c  d   d  a   d  a  b   b  c  0  b c  a d  a  c  0  a  b  b  c   c  d   d  a   b  c  d   d  a   d  a  b   b  c  0  abc  acd  bd  b d 0   b  d   ac  bd  0  ac  bd 0  ac bd A abcd  ac  Vậy số phương d) Tìm a nguyên để a  2a  7a  chia hết cho a  3 Thực chia a  2a  7a  cho a  Kết a  2a  a    a  3  a    4a  Để phép chia hết  4a  1  a  3   4a  1  4a 1  a  3   16a  1  a  3   16a   49   a  3  49 a  3 Tìm a thử lại kết luận a    2;2 Bài (3,0 điểm) A  x  1  x  1  x  x  1  2017 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  1  x  1  x  3x  1  2017  x  x  1  x  x  1  2017  x  x    2017  x  x   2016 2016  x 0 x  x 0    x 3 Min A 2016  x 0; x   Vậy Dấu xảy 2 x 1  x    x 1   3     0 d) Giải phương trình  x   x   x   x 1  x 1       x 2 x  x 2   2x   3  0  x 4   x    2  a 3b x 1  x 1   x 2   12     0   a  3b   a  4b  0   a  4b  x 2 x  x 4  x 1 x 2 *)a 3b  3   x  1  x   3  x    x  x  16 0(VN ) x x  x 3(tm) x 1 x 2 *)a  4b     x  1  x     x      x  (tm) x x   4 S 3;   5 Vậy tập nghiệm phương trình Bài (3 điểm) 3 c) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a  b  c 3abc Chứng minh tam giác Chứng minh: a  b3  c3  3abc  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  0 Từ giả thiết suy  a  b  c  ab  bc  ca 0  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca 0 2   a  b    b  c    c  a  0  a b c Nên tam giác d) Cho x, y, z dương x  y  z 1 Chứng minh 1   9 x  yz y  xz z  xy 2 Đặt a x  yz; b  y  xz; c z  xy  a, b, c  0,  a  b  c   x  y  z  1 Chứng minh 1 1    9 a b c  a  b  c   1 1 1   9    9 a b c a b c hay x  yz y  xz z  xy (đpcm) Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB, vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D D I M C K A H O B e) Chứng minh AB 4 AC.BD Chứng minh OAC ∽ DBO( g g ) OA AC AB AB   OA.OB  AC.BD   AC.BD  AB 4 AC.BD DB OB 2 f) Kẻ OM vuông góc với CD M Chứng minh AC CM OC AC OAC ∽ DBO ( g g )   OD OB Theo câu a ta có OC AC OC OD OA OB     OD OA AC OA Mà Chứng minh OAC ∽ DOC (c.g.c)  ACO OCM  Chứng minh OAC OMC (ch  gn)  AC MC (dfcm) g) Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Ta có : OAC ∽ OMC  AO MO; CA CM Suy OC trung trực AM  OC  AM Mặt khác OA OM OB  AMB vuông M Nên OC / / BM   AM  hay OC / / BI  OM qua trung điểm AI suy IC=AC MK BK KH   MH / / AI , theo hệ định lý Talet nên IC BC AC Mà IC  AC  MK HK  BC qua trung điểm MH (đpcm) h) Tìm vị trí C Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ S ABDC   AC  BD  AB Tứ giác ABDC hình thang vng nên Ta nhận thấy AC, BD > nên theo BĐT Cơ si ta có : AB  AB  S ABDC  AB AB AC BD  OA Dấu xảy AC  DB 2 AC.BD 2 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A khoảng OA Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 a b c d c   b d   a          b c c  d d a a b  b c d  a   c d a b  a  d  a   c  b  c  b  b  a   d  d  c  a  c  ad  bc b  d  ab  dc     1 2  b  c  d  a  d  c  b  a  b  c  d  a  d  c b  a 4 F   a  c  ad  bc  b  d  ab  dc  Theo bđt  b  c  d  a xy  2  x  y Mặt khác :  a  b2  c  d  ab  ad  bc  cd    a  b  c  d  2 a  b  c  d  2ac  2bd  a  c    b  d  0  F 2  a c, b d Áp dụng với a 2016, b x, c  y, d 2015 Ta có : 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 Đẳng thức xảy x 2015, y 2016