PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẬP THẠCH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (1,5 điểm) x2 2x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x2 Cho biểu thức a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x b) x 2020 x 2019 x 2020 Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để : a ) A n3 n n số nguyên tố n N ; n 2 b) B n n số phương Câu (1,5 điểm) 1 1 a) Giải phương trình : x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c 3 b c a a c b a b c Câu (0,5 điểm) 1 a 1 b x ; y 1 a a b b2 Cho a b So sánh hai số x, y với : AC AB AH H BC Câu (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông A , đường cao Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD c) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC ĐÁP ÁN Câu (1,5 điểm) x2 2x 2x2 A 1 2x 8 x x x x x2 Cho biểu thức c) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ; x 2; x 0 Rút gọn : x2 2x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x x2 2x x2 x 2x2 x2 4 x2 4 x x2 x x x x x x 1 x 1 x2 x2 4 x 2 x x x x x x 1 x x x x 1 x x x2 2x x2 4 x x x x d) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x 1 Z x 12 x x 2 x 2x mà x 2 x 22 x 1x x 1(tmdk ) Vậy A nguyên x 1 Câu (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 a) x x x x x x x x x x b) x 2020 x 2019 x 2020 x x 2020 x 2020 x 2020 x x 1 x x 1 2020 x x 1 x x 1 x x 2020 Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để : a ) A n3 n n số nguyên tố p n3 n n n 1 n 1 Nếu n 0;1 không thỏa mãn đề p 22 1 1 5 Nếu n 2 thỏa mãn đề Nếu n khơng thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n n2 1 n Vậy n 2 p n n n số nguyên tố n N ; n 2 b) B n n số phương B n5 n n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 5 n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 Mà n n 1 n 1 n n 5 (là tích số tự nhiên liên tiếp ) 5n n 1 n 1 5 Vậy B chia dư Do số B có tận nên B khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để B số phương Câu (1,5 điểm) 1 1 c) Giải phương trình : x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 x x 20 x x x 11x 30 x x x 13x 42 x x x 4; 5; 6; 7 Ta có : nên ĐKXĐ: Phương trình trở thành : x x 5 x 5 x 1 x x 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 18 x 18 x x x x x 18 x 13(tm) x 2(tm) d) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c 3 b c a a c b a b c Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z Từ suy A a yz xz x y ;b ;c 2 y z x z x y y x x z y z 2x 2y 2z x y z x z y Từ suy A 2 hay A 3 Câu (0,5 điểm) Cho a b So sánh hai số x, y với : 1 a 1 b x ; y 1 a a b b2 Ta có x; y 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 y x 1 a 1 a 2 a a a b2 b 1 1 Vì a b nên a b a b Vậy x y AC AB AH H BC Câu (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông A , đường cao Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E A E M B H G D C d) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB CD CA CDE ∽ CAB Hai tam giác ADC BEC có : C chung, CE CB Do BEC ∽ ADC (c.g c ) Suy BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết ) nên AEB 45 , tam giác ABE vng cân A Suy BE AB m e) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM BM BE AD BEC ∽ ADC Ta có : BC BC AC Mà AD AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH ABH ∽ CBA AB BE Nên BC AC AC Do BHM ∽ BEC (c.g.c) BHM BEC 135 AHM 45 GB HD f) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác BAC AB ED AH HD ABC ∽ DEC ED / / AH HC HC Mà AC DC GB HD GB HD GB HD BC AH HC Do GC HC GB GC HD HC GB AB GC AC