154 đề hsg toán 8 quốc oai 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỐC OAI ĐỀ OLYMPIC TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 6x    Q     :  x  2 x  x  x  x    Bài (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (4 điểm) a) Tìm giá trị m phương trình x  5m 3  3mx có nghiệm gấp lần nghiệm x  1  x  1   x   phương trình  b) Giải phương trình x 2 3  1  x  x  3 192 Bài (3 điểm) x2 x A   Tính giá trị x4  x2 1 a) Cho x  x  b) Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh ab  a  b  148 Bài (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCD có AB / / CD, AB BC  AD a, CD 2a a) Tính góc hình thang ABCD b) Tính diện tích hình thang ABCD theo a c) Hãy chia mảnh đất ABCD thành hai mảnh đất hình thang Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy D, cạnh AC lấy E cho 1 BI CI AD  AB, CE  AC , , CD BE cắt I Tính tỉ số IE ID Bài (2 điểm) 3 1) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x  y  x  y  y  x 2) 8x  4x Giải phương trình   1  x  x  1 4  x  x  1 ĐÁP ÁN 6x    Q     :  x  2 x  x  x  x    Bài (3 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q Điều kiện : x  1, x  6x    Q     :  x  2  x 1 x 1 x  x 1   x    x  1 x2  x 1  x   2x  1    x   x  1  x  x  1  x   x  x   x  1  x  x 1 e) Tìm x Q 1   x  x  3   x  1  x   0  x  x 1 So sánh với điều kiện suy x 2 Q  x  1(ktm)  x 2(tm)  f) Tìm giá trị lớn biểu thức Q 1 3   0; x  x   x       x  1; x 2  2 4  Vì Qmax   x  x  1  x  x    x  (tm) 4 Max Q   x  Vậy Bài (4 điểm) c) Tìm giá trị m phương trình x  5m 3  3mx có nghiệm gấp lần nghiệm x  1  x  1   x   3 phương trình   x    x  x   3  x   x  x  3   x 8  x  Như , phương trình x  5m 3  3mx có nghiệm x 3.(  2)  Thay x  vào phương trình x  5m 3  3mx ta có :     5m 3     m   36  5m 3  18m  13m 39  m 3 Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu d) Giải phương trình x x   x  1  x  1 Ta có :  1  x  x  3 192 (1) x  x   x  1  x  3   1   x  1  x  1  x  1  x  3 192    x  1  x      x  1  x  1   192 0   x  x  3  x  x  1  192 0   x  x     x  x     192 0 2   x  x  1   192 0   x  x  1  14 0  x  x  15 0  x 3; x    x  x  15   x  x  13 0    x  x  13 0(VN ) Bài (3 điểm) x2 x A   Tính giá trị x4  x2 1 c) Cho x  x  x x2  x 1 3 5     x     x   x  x 1 x x x 2 x  x   x  1  x  x  x  1  x  x  1 x2 x x  A  2 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x2  x 1 x2  x 1       x   1  x   1 A x x x  x         21    1    1   A    2 4 A 21 Vậy  d) Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh ab  a  b  148 Đặt a  2n  1 Ta có b  2n  1 M ab  a  b   a  1  b  1 2   2n  1  1   2n  1  1  2n   2n.2n  2n   16n.n  n  1 (n  1)  M 16    Mặt khác , Mà n  n  1  n  1  16,3 1  tích số nguyên liên tiếp nên n  n  1  n  1 3 M 16.3  M 48 Bài (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCD có AB / / CD, AB BC  AD a, CD 2a A D B I H C d) Tính góc hình thang ABCD Gọi I trung điểm CD  AB DI IC a AB//DI  ABID hình bình hành  AD BI a  BCI  BCD 60  ADC 60 ; DAB ABC 120 e) Tính diện tích hình thang ABCD theo a Kẻ đường cao BH hình thang ABCD (đường cao tam giác BCI ) a a2 a CH  CI   BH  BC  CH  a   2 Ta có a  AB  CD  BH   3a S ABCD  2 f) Hãy chia mảnh đất ABCD thành hai mảnh đất hình thang E , F , K , H trung điểm ID, AI , BI , IC  a  2a  Chia hình thang hình vẽ, ta hình thang AFED, ABKF , BCHK , EFKH giống A D B E I H C Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy D, cạnh AC lấy E cho 1 BI CI AD  AB, CE  AC , , CD BE cắt I Tính tỉ số IE ID A Q P D E J I C B Gọi P, Q trung điểm AE , AB.PQ cắt CD J Ta có : PA / / BE , BQ QA 2QD AP PE EC Nên EI đường trung bình CPJ  JP 2 IE; JI IC Và BD 3DQ  BI 3QI ; JI 2DJ  JI IC 2 DJ  CI  ID Đặt IE  x  JP 2 IE 2 x, QJ  y  BI 3QJ 3 y Ta có PQ đường trung bình ABE nên BE 2 PQ  BE 2 PQ hay BI  IE 2  QJ  JP   y  x 2  y  x   y  x 2 y  x  BI 9 x  BI 9 IE  hay y 3 x BI BI CI 9 9;  IE ID Vậy IE Bài (2 điểm) 3 3) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x  y  x  y  y  x PT   x  y   x  xy  y  7  x  y    x  y   x  xy  y   0  x  xy  y  0 ( x  y )   x  y  7  3xy 0  xy 2 Vì x  y   xy 2  x 2; y 1 4) Giải phương trình PT   8x  4x  1  x  x 1 4  x  x 1 8x  x2  x2  x 1  x  x 1 8x  x    x  8x   VT      x  1 4 Xét  x  1 0  VT  (dấu xảy x=1 ) (1) Vì 1 1 x  x  1   x  x    x  x 1 4   x  1 4 VP     x  x 1 x  x 1 4  x  1 2  x  1 0  VP  x  1  Vì ( dấu xảy x=1 ) (2) VT VP   x 1 Từ (1), (2) suy Vậy phương trình có nghiệm x 1