PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỐC OAI ĐỀ OLYMPIC TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 6x Q : x 2 x x x x Bài (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (4 điểm) a) Tìm giá trị m phương trình x 5m 3 3mx có nghiệm gấp lần nghiệm x 1 x 1 x phương trình b) Giải phương trình x 2 3 1 x x 3 192 Bài (3 điểm) x2 x A Tính giá trị x4 x2 1 a) Cho x x b) Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh ab a b 148 Bài (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCD có AB / / CD, AB BC AD a, CD 2a a) Tính góc hình thang ABCD b) Tính diện tích hình thang ABCD theo a c) Hãy chia mảnh đất ABCD thành hai mảnh đất hình thang Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy D, cạnh AC lấy E cho 1 BI CI AD AB, CE AC , , CD BE cắt I Tính tỉ số IE ID Bài (2 điểm) 3 1) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x y x y y x 2) 8x 4x Giải phương trình 1 x x 1 4 x x 1 ĐÁP ÁN 6x Q : x 2 x x x x Bài (3 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q Điều kiện : x 1, x 6x Q : x 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x2 x 1 x 2x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 e) Tìm x Q 1 x x 3 x 1 x 0 x x 1 So sánh với điều kiện suy x 2 Q x 1(ktm) x 2(tm) f) Tìm giá trị lớn biểu thức Q 1 3 0; x x x x 1; x 2 2 4 Vì Qmax x x 1 x x x (tm) 4 Max Q x Vậy Bài (4 điểm) c) Tìm giá trị m phương trình x 5m 3 3mx có nghiệm gấp lần nghiệm x 1 x 1 x 3 phương trình x x x 3 x x x 3 x 8 x Như , phương trình x 5m 3 3mx có nghiệm x 3.( 2) Thay x vào phương trình x 5m 3 3mx ta có : 5m 3 m 36 5m 3 18m 13m 39 m 3 Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu d) Giải phương trình x x x 1 x 1 Ta có : 1 x x 3 192 (1) x x x 1 x 3 1 x 1 x 1 x 1 x 3 192 x 1 x x 1 x 1 192 0 x x 3 x x 1 192 0 x x x x 192 0 2 x x 1 192 0 x x 1 14 0 x x 15 0 x 3; x x x 15 x x 13 0 x x 13 0(VN ) Bài (3 điểm) x2 x A Tính giá trị x4 x2 1 c) Cho x x x x2 x 1 3 5 x x x x 1 x x x 2 x x x 1 x x x 1 x x 1 x2 x x A 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 A x x x x 21 1 1 A 2 4 A 21 Vậy d) Cho a, b bình phương số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh ab a b 148 Đặt a 2n 1 Ta có b 2n 1 M ab a b a 1 b 1 2 2n 1 1 2n 1 1 2n 2n.2n 2n 16n.n n 1 (n 1) M 16 Mặt khác , Mà n n 1 n 1 16,3 1 tích số nguyên liên tiếp nên n n 1 n 1 3 M 16.3 M 48 Bài (6 điểm) Một mảnh đất hình thang ABCD có AB / / CD, AB BC AD a, CD 2a A D B I H C d) Tính góc hình thang ABCD Gọi I trung điểm CD AB DI IC a AB//DI ABID hình bình hành AD BI a BCI BCD 60 ADC 60 ; DAB ABC 120 e) Tính diện tích hình thang ABCD theo a Kẻ đường cao BH hình thang ABCD (đường cao tam giác BCI ) a a2 a CH CI BH BC CH a 2 Ta có a AB CD BH 3a S ABCD 2 f) Hãy chia mảnh đất ABCD thành hai mảnh đất hình thang E , F , K , H trung điểm ID, AI , BI , IC a 2a Chia hình thang hình vẽ, ta hình thang AFED, ABKF , BCHK , EFKH giống A D B E I H C Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy D, cạnh AC lấy E cho 1 BI CI AD AB, CE AC , , CD BE cắt I Tính tỉ số IE ID A Q P D E J I C B Gọi P, Q trung điểm AE , AB.PQ cắt CD J Ta có : PA / / BE , BQ QA 2QD AP PE EC Nên EI đường trung bình CPJ JP 2 IE; JI IC Và BD 3DQ BI 3QI ; JI 2DJ JI IC 2 DJ CI ID Đặt IE x JP 2 IE 2 x, QJ y BI 3QJ 3 y Ta có PQ đường trung bình ABE nên BE 2 PQ BE 2 PQ hay BI IE 2 QJ JP y x 2 y x y x 2 y x BI 9 x BI 9 IE hay y 3 x BI BI CI 9 9; IE ID Vậy IE Bài (2 điểm) 3 3) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x y x y y x PT x y x xy y 7 x y x y x xy y 0 x xy y 0 ( x y ) x y 7 3xy 0 xy 2 Vì x y xy 2 x 2; y 1 4) Giải phương trình PT 8x 4x 1 x x 1 4 x x 1 8x x2 x2 x 1 x x 1 8x x x 8x VT x 1 4 Xét x 1 0 VT (dấu xảy x=1 ) (1) Vì 1 1 x x 1 x x x x 1 4 x 1 4 VP x x 1 x x 1 4 x 1 2 x 1 0 VP x 1 Vì ( dấu xảy x=1 ) (2) VT VP x 1 Từ (1), (2) suy Vậy phương trình có nghiệm x 1