SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP THCS, NĂM HỌC 2015-2016 Mơn TỐN Ngày thi : 02/3/2016 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (4,00 điểm) Cho biểu thức: p a) b) a a1 a a a a 1 a a ( a a )( a a1 2 a a 1 ) Rút gọn biểu thức P Chứng minh với giái trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P>6 Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình x x x x 9 x Câu (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 1 2 2x y 2z Chứng minh xyz 64 Câu (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ 90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN (B N nửa mặt phẳng bờ AD, D M nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh AC vng góc với MN Câu (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G trọng tâm.Tiếp tuyến B (O) cắt CG M.Tiếp tuyến C (O) cắt BG N.Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN ,AN đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự giao điểm BM,AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ = AC.BX b) MAˆ B NAˆ C Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Giám thị khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN Câu (4,00 điểm) Cho biểu thức: p a a1 a a a a 1 a a ( a a a )( a1 2 a a 1 ) a) Rút gọn biểu thức P a 13 p a ( a 1) a ( a 1) ( a 1)(a a 1) a ( a 1) (a a 1) a a a 2 a 13 (a a ( a 1)(a a 1) ( a 1)( a 1) )( a a a ( a 1) ( a 1)( a 1) a 1) a ( a 1) a a a2 ( (2 a )( a 1) ( a 1)( a 1) ) a 3a a a a a a ( a 1)( a 1) 2a a ( a 1)( a 1) 2( a a 1) ( a 1)( a 1) 2( a a 1) a a 2a a 2 a a a 4 b) Chứng minh với giái trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P>6 Ta có a a 2 a a 4 p 8 hay p (đpcm) Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình x x x x 9 x ( x x x x 1)( x x x x 1) (9 x 3)( x x x x 1) x (9 x 3)( x x x x 1) (9 x 3)( x x x x 1) 0 x 0 x Ta dễ chứng minh phương trình x 5x x x = vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 Câu (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn x y z 2 Chứng minh xyz Ta có : 64 1 2y 2z yz 1 1 2 2x 1 2y 2z y 2z (1 y )(1 z ) Tương tự ta có : xz xy 2 , 2 1 2y (1 x)(1 z ) z (1 x)(1 y ) 1 64 x y z 8 2x y 2z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Khi : xyz 8 (1 x )(1 y )(1 z ) (1 x)(1 y )(1 z ) 64 xyz xyz 64 Câu (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ 90 Dựng tam giác vuông cân A BAM DAN (B N nửa mặt phẳng bờ AD, D M nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh AC vng góc với MN N B C H D A M Gọi H giao điểm MN AC Ta có : ˆ D BA ˆ M 2v NA ˆ B BA ˆ D BA ˆ D DA ˆ M 2v NA ˆ M BA ˆ D 2v NA Mặt khác : AB // CD BAˆ D ABˆ C 2v ˆ M AB ˆ D) ˆ C ( 2v B A Do : NA Xét tam giác NAM tam giác CAB ta có : AM=AB AN= BC ˆ M AB ˆ C (cmt) NA Do hai tam giác ˆ C AM ˆ N (Hai góc tương ứng) Suy : BA Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc BAM = 900 Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vng góc với MN (đpcm) Câu (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G trọng tâm.Tiếp tuyến B (O) cắt CG M.Tiếp tuyến C (O) cắt BG N.Gọi X,Y theo thứ tự giao điểm CN ,AN đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự giao điểm BM,AM đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh : a) AB.CZ = AC.BX ˆ B NA ˆC b) MA Y A T M O N G B C X Z Xét tam giác BZC tam giác ACB ta có : Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp góc tạo tia tt dây chắn cung) Góc BCZ = Góc ABC ( so le ,AB//CX) Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g) => BZ CZ BC AC BC AB AB BC AC BZ => AB.CZ=BC.BC (1) Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g) AB BC AC CX BX CB BC AC BX CB AC.BX=BC.CB (2) Từ (1) (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2) Câu b Mình nhìn khơng nhờ bạn suy nghĩ đưa lời giải (cảm ơn)