ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức P 2017 x 3 x 4 x 4 Tìm x cho P 2018 x 3 x 2 2 Giải phương trình x x x 20 Câu 2: (4 điểm) 2 Cho phương trình x 2m 3 x m 0 , với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác , 1 (chúng trùng nhau) biểu thức x x đạt giá trị nhỏ 2 Cho parabol P : y ax Tìm điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện x02 y0 x0 y0 Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x y x y 18 Tìm tất cặp số a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a, b khác ước số chung lớn a, b ii) Số N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M, CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Câu 5: ( điểm) Với x, y hai số thực thỏa mãn y y y 11 x x x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Câu 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 1500 Chứng minh MA2 2 MB.MC LỜI GIẢI Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức P 2017 x 3 x 4 x 4 Tìm x cho P 2018 x 3 x 2 Giải phương trình x x x 20 Lời giải x 2 x 32 x 4 x 4 x 32 P x 3 x 2 x 3 x 2 Ta có x x 1 x 1 x 2 Mặt khác P 2017 2018 Ta có x 1 x 1 x 1 x 32 x 2 x 2 x 2 x 2017 x 2018 x x 1 x 2 x 2016 x 20162 x x 20 x x x x 20 x x x x 20 x x x x 20 x x 6 2 x x 16 20 x x 36 x x Ta thấy phương trình x x vô nghiệm x 1 11 Mặt khác, x x 6 x x 10 0 x 1 11 Vậy phương trình có nghiệm x 1 11 x 1 11 Câu 2: (4 điểm) 2 Cho phương trình x 2m 3 x m 0 , với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác , 1 (chúng trùng nhau) biểu thức x x đạt giá trị nhỏ 2 Cho parabol P : y ax Tìm điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện x02 y0 x0 y0 Lời giải 1.Phương trình có hai nghiệm khác m 1 2m 3 m 0 m 3 m 1 0 m 3 m 0 m 0 m 0 x1 x2 2m 3 x1 x2 m Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 x1 x2 2m 3 12m 18 2m 2m 12m 18 Lại có x x x x 3m m2 3m 2 2 2 m 3 3 3m Dấu sảy m 3 2.Ta có x02 y0 x0 y0 x02 x0 y0 y0 x x0 y0 y0 x y x y 0 0 Vậy nên x0 y0 x0 y0 x02 y0 x0 y0 a x02 3 x02 1 a a 1 1 a Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x y x y 18 Tìm tất cặp số a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a, b khác ước số chung lớn a, b ii) Số N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương Lời giải 1.Ta 2 x y x y 18 x x y y 1 21 có x y 1 21 x y 1 x y 3 21 2 Do sảy trường hợp sau: x y 1 x 9 x y 21 y 9 +) x y 3 x y 7 +) Ta có: x 2 y 2 N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho số: 1; a ; b ab 1 2ab 1 ; b ; a ab 1 2ab 1 ; ab ; ab 2ab 1 ; 2ab ; ab ab 1 ; N ; ab ; ab 1 2ab 1 ; b ab 1 ; a 2ab 1 ; a ab 1 ; b 2ab 1 có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab 1; 2ab 1 số nguyên tố Do a, b ab Nếu a; b lẻ ab chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ a 2 Ta có b khơng chia hết cho 2ab 1 4b 1 ab 2b chia hết cho hợp số (vô lý) b 3 Vậy a 2; b 3 Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M, CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC A E D HN M B F C 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M, CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC sau: BAC DHE MFN BHC 1800 (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp) F MFN F Mà DHE (đối đỉnh) suy BAC Lại có BHC B ;F C ;B C F 1 1 (tứ giác BDHF, CEHF, BCED nội tiếp) F B B F 2 2 900 BAC 2 B 3BAC 1800 BAC 600 Do BAC Câu 5: ( điểm) Với x, y hai số thực thỏa mãn y y y 11 x x x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Điều kiện x 3 y y y 11 x x x y 1 y 1 a 2a b3 2b, a y 1; b x x2 x2 a b3 a b 0 a b a ab b 0 Do a ab b a b b Suy a b 0 y x 0 y x x y x x 4 x x 4 3 x 0 Đẳng thức xảy 9 x 0 x 3 y Vậy giá trị lớn T 2022 x = 3; y=-1 Ta lại có x y 1 x x 1 x x x x 18 9 x x x 0 2 x 0 (Đúng) Suy T x y 2018 1 2018 2019 Đẳng thức xảy khi y x 0 x (thỏa mãn) Suy 3 2 1 2 Vậy GTNN T 2019 x 3 2 ;y 2 Câu 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 1500 Chứng minh MA2 2 MB.MC A E M C B F Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M,lấy điểm E cho AME đều; nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm m,lấy điểm F cho CMF Ta có MAE BAC 600 MAB BAE MAB CAM BAE CAM BAE CAM (c – g - c) Suy BE CM ; ABE ACM Tương tự MCF ACB 600 MCB BCF MCB ACM BCF ACM Ta có BE CM ; CM CF BE CF ; ABE ACM ; ACM BCF ABE BCF Suy BAE CBF c g c AE BF Mà AE AM BF AM Mặt khác BMF BMC CMF 1500 600 900 ( CMF đều, nên MF MC ) Xét BMF : BMF 900 BF MB MF MA2 MB MC 2MB.MC ( CMF MF= MC)