UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021-2022 Mơn :TỐN – Lớp Thời gian làm : 150 phút Câu (4,0 điểm) x x x 1 1 2x x x x x x x x x x với x 0, x 1 1) Rút gọn biểu thức d : y ax b a 0 M 1; a, b d P 2) Cho đường thẳng Tìm biết qua OAB A B cho tam giác cân, O gốc tọa độ Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình cắt trục Ox, Oy x x 3 x 1 3x 2) Giải hệ phương trình Câu (4,0 điểm) x 1 x y 3 y 0 x x 3x y 0 1) Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y phương trình 1 1 1 x y 100 x y 10 2 2) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p a b số nguyên tố p chia hết cho 2 Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax by chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p O Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn Điểm M thuộc cung nhỏ CD (O), M khác C D Đường thẳng MA cắt DB, DC theo thứ tự H K, đường thẳng MB cắt DC AC theo thứ tự E F Hai đường thẳng CH , DF cắt N 1) Chứng minh tứ giác DHEM nội tiếp HE phân giác MHC 2) Gọi G giao điểm KF HE Chứng minh tứ giác GHOF hình chữ nhật G tâm đường tròn ngoại tiếp KNE HN DK 3) Chứng minh HM DC Câu (2,0 điểm) 1) Cho đường tròn tâm (O) Bước 1, lấy đường kính đường trịn đó, đầu mút đường kính ghi số Bước 2, điểm cung nhận ghi số Bước 3, coi điểm ghi số điểm chia đường trịn Khi đó, đường trịn chia thành cung nhau,tại điểm cung ta ghi số có giá trị tổng hai số ghi hai đầu cung tương ứng Cứ tiếp tục trình vậy, hỏi sau 2021 bước tổng số ghi đường tròn ? 2 2) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh bất đẳng thức a b b c c a 2 2 a 1 b2 1 c2 1 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) x x x 1 1 2x x x x x x x x x x với x 0, x 1 3) Rút gọn biểu thức x x x 1 1 2x x P x x x x x x x2 x P x 1 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x x x x x x x 1 4) Cho đường thẳng d : y ax b a 0 Tìm a, b biết d qua M 1; cắt trục Ox, Oy A B cho tam giác OAB cân, O gốc tọa độ Vì đường thẳng d qua M 1; nên a b 2 Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần b A ; 0 lượt a B 0; b b OA OB b a 1 a 1 a OAB cân Từ ta tìm a; b 1;3 , 1;1 Câu (4,0 điểm) 2 3) Giải phương trình x x 3 x 1 3x Phương trình tương đương : x x 1 x x x 0 2 Đặt t x phương trình t x 1 t x x 0 t 2 x 2 9 x 1 x x x t x Ta có x 0 t 2 x x 2 x x 2 x 0 Với t x Với x 3 19 3x x x x x 0 19 19 S ; 2; Vậy phương trình có tập nghiệm x 1 x y 3 y 0 x x 3x y 0 4) Giải hệ phương trình ĐKXĐ: y 2 Từ phương trình x 1 y 3 y 0 2x 2x 5 2y y 1 Nếu Nếu Nếu 2x x 2x y 2x 2x 2x y 2x 2x y 2x 5 2y 5 2y 5 2y 3 5 2y 2y 5 2y x 0 2x y 2 y 5 x Do từ (1) ta có Thay y 5 x vào phương trình x x x y 0 : 1 1 x 1 x 1 x y 21 1 3 1 ; x; y 21 Đối chiếu ĐKXĐ hệ phương trình có nghiệm 1 1 Câu (4,0 điểm) 3) Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y phương trình 1 1 1 x y 100 x y 10 Ta có : 1 1 1 x y 100 x y 10 1 1 1 x x y 100 y 10 x y 10 x 10 y x y 20 y 100 Vì x, y nguyên dương nên y phải số phương 2 Lập luận tương tự ta có x số phương Đặt x a , y b với a, b * Ta có a b 10 a; b 1;9 ; 2;8 ; ; 9;1 x; y 1;81 ; 4;64 ; ; 81;1 2 4) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p a b số nguyên tố p chia 2 hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax by chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Vì p 5 8 p 8k k Ta có : k 2 ax a by k 2 k Do x a k 2 b k 2 k 2 y ax by p a k 2 x8 k 4 b k y 8k p 8k a b k 2 a 4k 2 2 k 1 b b k 2 x 2 k 1 8k 4 b 4k 2 x : a b2 p k 4 y 8k 4 Nhận thấy x8k 4 y 8k p * b p nên Nếu hai số x, y có số chia hết cho p từ * suy số thứ hai chia hết cho p Nếu hai số x, y không chia hết cho p theo định lý Fermat ta có x8l 4 x p 1 mod p y 8k y p 1 mod p x8k 4 y k 4 2 mod p Vậy hai số x, y chia hết cho p (mâu thuẫn với (*)) Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn O Điểm M thuộc cung nhỏ CD (O), M khác C D Đường thẳng MA cắt DB, DC theo thứ tự H K, đường thẳng MB cắt DC AC theo thứ tự E F Hai đường thẳng CH , DF cắt N A B O H N G D K E M F C 4) Chứng minh tứ giác DHEM nội tiếp HE phân giác MHC Vì hình vng ABCD nội tiếp đường tròn nên O giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD Ta có HDE HME 45 nên tứ giác DHEM nội tiếp Suy DHE DME 90 Lại có BD trung trực AC , mà H thuộc BD nên AHC cân H Suy HB tia phân giác AHC 1 OHE AHM EHC OHC AHC MHC 2 Ta có , mà 1 BHC AHC EHC MHC 2 , HE tia phân giác MHC 5) Gọi G giao điểm KF HE Chứng minh tứ giác GHOF hình chữ nhật G tâm đường tròn ngoại tiếp KNE Tam giác HDE có DHE 90 ; HED 45 GEK 45 Ta có MKC 1 sd MC sd AD sd MC ; MFC sd AB 2 mà AB AD MKC MFC Suy tứ giác MKFC nội tiếp Lại có KMC AMC 90 KFC 90 hay KF AC Vì GHO HOF GFO 90 nên GHOF hình chữ nhật Ta có : HGF 90 HGK 90 KGE 90 , suy KGE vuông cân G, nên GK GE 1 Vì AMB BMC nên MB phân giác AMC Tam giác MHC có HE phân giác MHC ME phân giác HMC nên E tâm đường tròn nội tiếp tam giác HMC Do EC phân giác HCM , suy NCD MCD Tương tự ta có KF lầ phân giác MFD Ta có MA phân giác DMF Do dẫn đến K tâm đường tròn nội tiếp tam giác DMF , suy DC phân giác NDM Từ suy NDC MDC Hai tam giác NCD MCD có : NDC MDC ; NCD MCD DC chung nên NCD MCD NC MC Hai tam giác NKC MKC có NC MC , NCK MCK , KC chung nên NKC MKC Suy KNC KMC 90 HNK 90 mà HGK 90 nên HNGK tứ giác nội tiếp Lại có KHG GHN NG KG GK GN Từ (1) (2) suy GK GN GE , hay G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NKE HN DK 6) Chứng minh HM DC Vì KMC KNC 90 nên tứ giác MKNC nội tiếp, suy HMN NCH Hai tam giác HMN HCK có MHC chung HMN KCH HN HK HMN ∽ HCK 3 HM HC HK EK 4 Vì HE phân giác KHC nên HC EC EK MK 5 Vì ME phân giác KMC nên EC MC MK MD DBM ∽ KCM 6 MC MB Lại có HD MD 7 Vì MH phân giác DMB nên HB MB HK HD DK 8 Do AB / / DK nên HA HB DC HN DK 3 , , , , , HM DC Từ Câu (2,0 điểm) 3) Cho đường tròn tâm (O) Bước 1, lấy đường kính đường trịn đó, đầu mút đường kính ghi số Bước 2, điểm cung nhận ghi số Bước 3, coi điểm ghi số điểm chia đường tròn Khi đó, đường trịn chia thành cung nhau,tại điểm cung ta ghi số có giá trị tổng hai số ghi hai đầu cung tương ứng Cứ tiếp tục trình vậy, hỏi sau 2021 bước tổng số ghi đường tròn ? Gọi Sn tổng tất số ghi đường tròn sau n bước, n * Sau bước 1, đường trịn có số 1;1 nên S1 1 2 2.3 Sau bước 2, đường trịn có số 1,2,1,2 nên S2 1 6 2.3 Sau bước 3, đường trịn có số 1,3, 2,3,1, 3, 2,3 nên S3 18 2.3 n n Dự đoán sau n bước tổng Sn 2.3 Ta chứng minh Sn 2.3 * n * Thật vậy, với n 1 (*) Giả sử * với n k k * , nghĩa sau k bước đường tròn cho có số với k tổng Sk 2.3 k k Sang bước thứ k 1, ta xem điểm ghi số điểm chia, nên đường tròn chia k thành cung Do điểm cung lại ghi tổng hai số ghi hai đầu cung k tương ứng Do Sk 1 Sk 2.Sk 3Sk 2.3 n 2020 Vậy Sn 2.3 với n * S2021 2.3 2 4) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh bất đẳng thức b2 1 c2 1 a 1 a b c a b c a ab b3 bc c3 ca a 2b b 2c c a a b b c c a 2 Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : a ab b3 bc c3 ca 2 a 2b b c c a Do 2 2 2 2 a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c a 1 a b c 2 b2 1 c2 1 b2 1 c2 1 a 1 a 1 a b c ab bc ca a a b c a a b b c c a 2 Suy Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cosi – Schwwarz ta có a a2 1 a a b c a a a 1 a a a b c a a b c a 1 b c 1 b2 c2 1 1 a b c a 2 a b c a a b c a a2 1 b c b c a b c a 1 a a 1 1 a a b2 c2 1 2 a 1 a b c a a b c a b c Tương tự: 1 b b a2 c2 1 2 2 b2 1 b2 1 b2 1 a b b c a b b c a b c c a b 1 c c a2 b2 1 2 c2 1 c2 1 c2 1 c a b c c a b c a b c b c a Từ (1), (2), (3) ta có : 1 1 a b c b 1 c 1 a 1 1 a b b c c a a2 b2 b2 c2 c2 a2 3 6 a b b c c a a2 b2 b2 c2 c2 a2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy a b c