UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2018-2019 Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho ba số a, b, c khác đôi khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện a b c a b b c c a A c a b c a b Tính giá trị biểu thức: Câu (4,0 điểm) 2 x x x 1 1) Giải phương trình: 2) Cho hai đa thức P ( x) x x x 1, Q x 2 x x Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm P x Tính giá trị Q x1 Q x2 Q x3 Q x4 Q x5 Câu (4,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương n cho n ước số n 206 a b2 a 2 a , b , c b c c Chứng minh a c 2) Cho số nguyên khác 0, cho a b c số nguyên tố Câu (7,0 điểm) 1) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E.Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM ND b) Tứ giác EMFN hình c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC 2) Cho tam giác ABC có BAC 90 , ABC 20 Các điểm E F nằm 0 cạnh AC, AB cho ABE 10 ACF 30 Tính CFE Câu (3,0 điểm) 1) Cho số thực a, b, c 1 Chứng minh 1 4 3 2a 2b 2c a b b c c a 2) Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng ABCD chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm ĐÁP ÁN Câu Nếu a b c 0 a b c, b c a, c a b a b b c c a a b b c c a A a b c a b Do đó, c a b b c c a a b b c c a 2 c a b c a b a b c Nếu Do đó, a b 2c, b c 2a, c a 2b a b c , trái giả thiết Vậy A Câu 2.1 Điều kiện x 0; x 1 3 0 x x x 1 x2 x x 1 2 x x 1 x 1 0 x2 x 1 x 1 x 1 x x 1 0 x x x 0 2 2 x2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 0 (tm) x 3 1 S 1; 2 Vậy tập nghiệm phương trình 2.2 Ta có : P x x x x x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 1 Q x 2 x x 2 Do Q x1 Q x2 Q x3 Q x4 Q x5 25 x1 x2 x3 x4 x x1 x2 x3 x4 x5 1 32.P P 1 32. 1 1 77 2 32 Câu 3.1 n6 206 n6 198 n 206 n 2 n2 n ước số n 2n 198 n2 2 Điều nảy xảy n ước nguyên dương 198 2.3 11 gồm: 2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 Từ ta tìm n 1;2;3;4;8;14 3.2 a b2 a a c b ac 0 b ac 2 c Ta có: b c 2 2 2 2 2 Mà a b c a ac c a 2ac c b a c b a c b a c b 2 2 2 Ta thấy a b c a b c số nguyên tố xảy trường hợp sau: 1)a c b 1; a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) 2)a c b 1, a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) 3)a c b 1, a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) 4)a c b 1, a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) Câu A d B E M N D O C F H 4.1 a) Do ABCD hình vuông nên A1 MAD 90 (1) mà AMHN hình vng A2 MAD 90 (2) Từ 1 ; suy A1 A2 D 900 AND AMB c g c B Do đó, BM ND 900 D ABCD b) Do hình vng D 900 900 1800 N , D, C NDC D thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vng AMHN O tâm đối xứng hình vng AMHN AH đường trung trực đoạn MN, mà E , F AH EN EM FM FN (3) M EOM FON OM ON ; N (4) O1 O2 EM FN Từ 3 ; EM NE NF FM MEMF hình thoi (5) c) Từ (5) suy FM FN FD DN Mà DN MB MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có: P MC CF MF MC CF BM DF (Vì MF DF MB) MC MB CF FD BC CD a a 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi M thay đổi BC 4.2 0 Xét ABC có BAC 90 , ABC 20 ACB 70 900 , ACF 300 FC 2 AF ACF có CAF Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD BC Khi đó, ABC DBG BD BA BG BC GCB GBC 200 GCF 200 Do CG BE tia phân giác BCF ABC nên: FC BC BA AE ; FG BG BC EC 1 FC BC BD BA AE AF AF AE FG FG BG BG BC EC FG EC Do đó, Từ suy CG / / EF (Định lý Talet đảo) CFE GCF 20 Câu 5.1 Ta có: Nên a 1 VT Ta lại có: 0 a 2a 1 2a a 1 3 a b c 1 8 1 ; 2 a b ab a b a b a b a b2 a b 1 1 2 ; 2 bc c a ca Tương tự: b c 1 4 2 a b b c c a Suy ra: a b c 1 4 3 a b b c c a Do vậy, 2a 2b 2c Dấu " " xảy a b c 1 5.2 Các đường thẳng cho cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác (chứ chia hình vng thành hai tứ giác) Do đó, đường thẳng (trong số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối BC AD điểm M N N A E B J M S ABMN S MCND Ta có: D F C AB. BM AN 2 EJ 2 3 JF CD.( MC ND ) (ở E F trung điểm AB CD tương ứng) Gọi E , F , P, Q tương ứng trung điểm AB, CD, BC, AD Gọi J1 , J , J , J điểm cho J1 , J nằm EF , J , J nằm PQ thỏa mãn: EJ1 FJ PJ QJ J1F J F J 3Q J P P A E C J4 J1 J2 F J3 B Q D Khi từ lập luận ta suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn u cầu đề phải qua điểm J1 , J , J , J nói Vì có đường thẳng, nên theo ngun lý Dirichle phải tồn điểm J1 , J , J , J cho có ba đường thẳng cho qua Vậy có đường thẳng đường thẳng cho qua điểm