Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH Năm học 2017 – 2018 Câu (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: P x2 x x x x 2x x 2x , với x 2 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x 7 Tính giá trị biểu x 1 thức A x ; B x x x Câu (4,0 điểm) 1) Cho phương trình x (m 1) x m 0 (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 ( x 1) y xy 2) Giải hệ phương trình x 24 x 35 5 y 11 y Câu (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n chia hết cho m n n m chia hết cho n m 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Câu (6,0 điểm) 90 nội tiếp đường trịn O bán kính R Cho tam giác ABC cân A BAC M điểm nằm cạnh BC BM CM Gọi D giao điểm AM đường tròn O ( D khác A ), điểm H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E , ED cắt BC N điểm cung lớn BC 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN CM BM CN 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng 3) Khi 2AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Câu (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z 3 xy yz zx 0 Chứng minh x 1 y 1 z 1 25 y z x xy yz zx 2) Cho tam giác ABC vng C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: P x2 x x x x 2x x 2x , với x 2 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x 7 Tính giá trị biểu x thức A x5 1 B x7 ; x x Lời giải 1) x - + x - +1 + x - 1- x - +1 P= x - + 2 x - +1 - x - 1- 2 x - +1 = æ 2.ỗ ỗ ỗ ố = ( )= x - +1 + x - - x - +1- x - +1 ( ( ) x - +1 + ) 2 x - +1 - ( 2.2 x - = x - 2) x2 + =7 Û x2 Ta có x + ổ2 ỗ x + + 2ữ ữ ç ÷- = Û ç è ø x ổ 1ử ỗ x+ ữ = ị x + = (do x > ) ÷ ç ÷ ç è xø x ỉ ưỉ 1ử ữ ỗ =ỗ x+ ữ x + ữ ữ ỗ ỗ ữỗ ữ= 3.6 =18 ỗ è xø è x x2 ø x4 + ổ 1ử =ỗ x2 + ữ ữ- = 47 ỗ ỗ ố ứ x x ữ ổ 1ữ ửổ4 ỗx + x+ ữ +) ỗỗố ữ ỗ ç øç è x 1÷ 1 = x + + x + = x + +18 4÷ ø x ÷ x x x5 1 +18 = 141 Û x5 + = 123 x x ỉ3 ưỉ4 ÷ 1 ỗ x + 4ữ = x + x + + = x7 + +3 ữ +) ỗỗỗốx + ữ ỗ ữ ữ ç x øè x ø x x x Þ x5 + Þ x7 + 1 + = 846 Û x + = 843 x x Câu (4,0 điểm) ( 2ö x - 1- ÷ ÷ ÷ ø ) ) 2x - - Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1) Cho phương trình x (m 1) x m 0 (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 55 x1 x2 x2 x1 x1 x2 ( x 1) y xy 2) Giải hệ phương trình x 24 x 35 5 y 11 y Lời giải 1) D = ( m2 +1) - ( m - 2) = m + ( m - 1) + > ìï x + x =- ( m +1) ï Theo định lí Vi-ét ta có íï x1 x2 = m - ïỵ 2 x1 - x2 - 55 ( x1 - 1) x1 +( x2 - 1) x2 ( x1 x2 ) + 55 + = x1 x2 + Û = x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 Þ x12 - x1 + x22 - x2 = ( x1 x2 ) + 55 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 - ( x1 + x2 ) - ( x1 x2 ) - 55 = Û ( - ( m +1) ) - ( m - 2) +( m +1) - ( m - 2) + 55 = 2 Û ( m + 2m2 +1) - 4m +8 + m2 +1- m + 4m - - 55 = Û m + 2m - 24 = (2) Đặt m = a ( a ³ 0) Phương trình (2) trở thành a + 2a - 24 = Ta có D ¢= 25 > Þ phương trình có nghiệm: a1 = (Nhận); a2 =- (Loại, a < ) +) Với a = Þ m = Þ m = ±2 Vậy m = ; m =- giá trị cần tìm ( x 1) y xy (1) 2) x 24 x 35 5 y 11 y (2) Phương trình (1) Û ( x +1)2 + y - xy - = Û x + x - - xy + y = Û ( x - 1) ( x + 3) - y ( x - 1) = Û ( x - 1) ( x + - y ) = éx =1 Û ê ê ëy = x + +) Thay x = vào phương trình (2) ta được: 4.1 - 24.1 + 35 = 5( y - 11 + y ) ( ) Û y - 11 + y = Û Û y - 11 y = 10 - y Û y - 11 = ( 10 - y ) y - 11 + y éy = 25 Û ê ê ëy = =9 Û y - 29 y +100 = Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt +) Thay y = x + vào phương trình (2) ta x - 24 x + 35 = ( 3( x + 3) - 11 + x + ) Û x - 24 x + 35 = x - + x + Û x - 24 x + 35 - 3x - - x + = ( ) ( ) Û x - 28 x + 24 + 3x + - x - + x + - x + = Û ( x - 1) ( x - 6) + ( x - 1) ( x - 6) 3x + + 3x - + ( x - 1) ( x - 6) x +9 +5 x +3 =0 ỉ ÷ ÷ ( x - 1) ( x - 6) ỗ 4+ + =0 ỗ ữ ỗ ữ ố 3x + + 3x - x + + x + ø ỉ ữ ỗ ữ + + > 0, " x ỗ Vỡ ỗ ữ ữ ố 3x + + 3x - x + + x + ø éx = Þ y = Þ ( x - 1) ( x - 6) = Û ê ê ëx = Þ y = Vậy nghiệm ( x; y ) hệ là: ( 1; 4) , ( 1; 25) , ( 6;9) Câu (3,5 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m , n cho m n chia hết cho m n n m chia hết cho n m 2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a , b cho a b số nguyên tố Lời giải ìï m + n Mm - n 1) ïíï (1) 2 ïỵ n + m Mn - m ìï ( m - n +1) ( m + n ) ³ ìï m + n ³ m - n ïí Û ïí Û ïï ( n - m +1) ( m + n ) ³ ïïỵ n + m ³ n - m î ïì m - n +1 ³ m n Û ïí ïïỵ n - m +1 ³ (do , nguyên dương) Û - 1£ m- n £ *) TH1: m - n =- Û m = n - +) m + n2 Mm2 - n m + n2 ẻ Z ị m - n Þ Þ n - 1+ n2 ( n - 1) - n ( n2 - Ỵ Z 3n +1) + 4n - n - 3n +1 Ỵ Z Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt ị 4n - ẻ Z ị n - 3n +1 £ 4n - n - 3n +1 Þ n - 7n + £ Þ 7- 37 £ n£ + 37 vỡ n ẻ N* ị n ẻ {1; 2;3; 4;5;6} ị m ẻ {1; 2;3; 4;5} Th li vo (1) ta tìm cặp ( m; n) thỏa mãn là: ( 2;3) *) TH2: m - n = Û m = n m + n Mm - n ị m + n2 ẻ Z m2 - n n + n2 ( n - n) + n ẻ Z ị ẻ Z Î Z Þ n- n2 - n n2 - n Þ n - 1£ Þ n £ Þ * Vì n Ỵ N Þ n Ỵ {1; 2;3} ị m ẻ {1; 2;3} Th li vo (1) ta tìm cặp số ( m; n) thỏa mãn là: ( 2; 2) , ( 3;3) *) TH3: m - n = Û m = n +1 n + m Mn - m n + m2 n + 3n +1 n +( n +1) ẻ Z ẻ Z ẻ Z ị Þ Þ n - m n2 - n - n2 - n - Þ Þ 4n + Î Z Þ n - n - £ 4n + Þ n - 5n - £ n - n- 5- 37 £ n£ + 37 * Vì n Ỵ N ị n ẻ {1; 2;3; 4;5} ị m ẻ { 2;3; 4;5;6} Thử lại vào (1) ta cặp số ( m; n) thỏa mãn là: ( 3; 2) 2) Ta xét tập T gồm số chẵn thuộc tập A Khi | T |= với a , b thuộc T ta có a + b , k ³ Xét cặp số sau: A = {1; 4} È { 3; 2} È { 5;16} È { 6;15} È { 7;12} È { 8;13} È { 9;10} È {11;14} Ta thấy tổng bình phương cặp số số nguyên tố Xét T tập A | T |= , theo ngun lí Dirichlet T chứa cặp nói Vậy kmin = Câu (6,0 điểm) 90 nội tiếp đường tròn O bán kính R Cho tam giác ABC cân A BAC M điểm nằm cạnh BC BM CM Gọi D giao điểm AM Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt đường tròn O ( D khác A ), điểm H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E , ED cắt BC N điểm cung lớn BC 1) Chứng minh MA.MD MB.MC BN CM BM CN 2) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B , I , E thẳng hàng 3) Khi 2AB R , xác định vị trí M để 2MA AD đạt giá trị nhỏ Lời giải 1) +) Ta có D MAB ” D MCD (g.g) Þ MA MB = Þ MA.MD = MB.MC (đpcm) MC MD · +) Theo gt A điểm cung nhỏ BC Þ DA tia phân giác BDC D BDC (1) Mặt khác, E điểm cung lớn BC Þ AE đường kính (O) Þ ·ADE = 90° Þ DA ^ DN (2) · Từ (1) (2) Þ DN tia phân giác ngồi BDC D BDC Do đó, theo tính chất cảu tia phân giác tia phân giác ngồi tam giác ta có: BM BD BN = = Þ BM CN = BN CM (đpcm) CM CD CN 2) Kẻ BE cắt ( I ) J · · Ta có EBD = EAD · · (góc trong- góc ngồi) BJD = DMC · · · · Mà EAD + DMC = 90° Þ EBD + BJD = 90° Þ BD ^ JD Þ BJ đường kính Þ Þ B , I , E thẳng hàng (đpcm) I Ỵ BJ hay I Ỵ BE 3) D HAM ” D DAE (g.g) Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Þ AM AH Þ = AE AD AM AD = AH AE Với AE = R ; AH = AB R = AE R2 Þ AM AD = Theo BĐT Cô- si: AM + AD ³ 2 AM AD = 2 R2 =R GTNN đạt khi: 2AM = AD Þ M trung điểm AD Þ OM ^ AD Þ M gia điểm đường trịn đường kính OA với BC Câu (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x y z 3 xy yz zx 0 Chứng minh x 1 y 1 z 1 25 y z x 3 xy yz zx 2) Cho tam giác ABC vng C có CD đường cao X điểm thuộc đoạn CD , K điểm thuộc đoạn AX cho BK BC , T thuộc đoạn BX cho AT AC , AT cắt BK M Chứng minh MK MT Lời giải 1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: VT = ³ 25 3 2.2 ( xy + yz + zx ) 25 25 = xy + yz + zx + xy + yz + zx + x + y + z +1 ³ 25 ( x +1) ( y +1) ( z +1) Cần chứng minh å ( x +1) ( y +1) £ 25 Sau rút gọn, BĐT trở thành x y + y z + z x £ Giả sử y nằm x z , suy ( y - x ) ( y - z ) £ hay y + zx £ xy + yz Do y z + z x £ xyz + yz x y + y z + z x £ x y + xyz + yz £ y ( z + x ) ( y + z + x + z + x) = 2) = 1 y ( z + x ) ( z + x ) £ 54 Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Vẽ đường tròn ( A; AC ) , ( B; BC ) đường tròn ( I ) ngoại tiếp D ABC Kẻ AX cắt ( I ) Y , BX cắt ( I ) Z , AZ cắt BY P Ta có ·AYB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( I ) ) Þ AY ^ BP · BZA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( I ) ) Þ BZ ^ AP Þ X trực tâm D ABP Ta thấy D ABC ” D ACD Þ AC = AD AB = AT Þ ·ATD = ·ABT · · Tương tự, ta có BKD = BAK · · Þ tứ giác ADTP tứ giác nội tiếp Ta có ·APD = ABZ = ATZ Þ AT ^ PT (1) Tương tự, ta có BK ^ PK (2) Þ PK = PT (3) Từ (1), (2), (3), suy D MKP = D MTP (cạnh huyền – cạnh góc vng) Þ MK = MT (đpcm)