034 đề hsg toán 9 đà nẵng 2017 2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A   11   11 18  11 Câu 2: (1,5 điểm)  x2 x  x1    : với x  ; x #1 x x  x   x  x   x Rút gọn A chứng minh A  Cho biểu thức A  Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y mx  2m  ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn Câu 4: (2 điểm) a) Tìm tất số x thỏa mãn x  x    x  x   7  x2  x  y  y  y z b) Tìm tất  x, y, z  thỏa mãn    x  y  z   x  0 Câu 5: ( điểm) Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Câu 6: (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ABC 1500 Gọi E ; F chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Câu 7: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O  Tiếp tuyến B đường tròn  O  cắt đường thẳng qua C song song với AB D a) Chứng minh rằng: BC  AB.CD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; E giao điểm CG BD   Tiếp tuyến C  O  cắ BG F Chứng minh rằng: EAG FAG LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A   11   11 18  11 Lời giải    x  A  11  11  11 18  11     11 18  11  11 49 A  11   11 2  (1,5 điểm) Câu 2:  x2  x1    : Cho biểu thức A  với x  ; x #1  x x  x 1  x  x  x Rút gọn A chứng minh A  Lời giải + Rút gọn A  x2 x  x1 A     :  x x  x 1  x  x  x  A     A    A  x  1 1 x   x   :   x   x  1  x   x   x  1  x   x    x x2   x  x 1    x x  x   x  x   x   x1    x 1  x  + Chứng minh A  Xét hiệu A  x 2   x 1  x  Với x  ; x #1  x1 x A x  2x  x   x 1  x  A Câu 3:  2    x1  x 1  x  với x  ; x #1  2 0  A 3 (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y mx  2m  ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn Lời giải a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng d m qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H Gọi H ( x0 ; y0 ) điểm cố định qua d m với m H ( x0 ; y0 )  d m với m Ta có: y0 mx0  2m   y0   x0   m  x  0  x0    Vậy H ( 2;  1)  y0  0  y0  b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m h A,dm   m   2m  m 1  m m2 1 2 Do (  m  1 2  m  1  3 m m2  Dấu “ = ” xảy m   ) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn m  Câu 4: ( điểm) a) Tìm tất số x thỏa mãn x  x    x  x   7  x2  x  y  y  y z b) Tìm tất  x, y, z  thỏa mãn    x  y  z   x  0 Lời giải a) ĐK x 2 x  x    x  x   7    x     x  3 x    x   7  7  x    x   7    x   x   7  x  6   7(loai)  x 11 ( t/m) b)  x  x  y (1)  y  y  z (2)  ( I)   x  y  z   x  0(3) Thay (1) (2) vào (3) ta có: x  x  x  y  y   x  0 2   x  1   y  1   x  1  x  0 Vế trái 0 ; Vế phải = nên dấu xảy khi:  x  0  x 1    y  0  y  Suy z  Vậy ( x, y, z ) (1,  1,  1) Câu 5: ( điểm) Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Lời giải Gọi chiều rộng chiều dài ruộng hình chữ nhật x ; y với ( x  ; y  ) Nếu giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi nên ta có pt  x  1  y   xy (1) Nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng nên ta có pt x   y   x  y  (2) Thế (2) vào (1) ta có:  y    y    y  y    y 16 ; x 9 Vậy diện tích ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m2 ) Câu 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC 4 , ABC 1500 Gọi E ; F chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Lời giải  Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp ( AEC CFA 900 )   Nên: EAC ( Cùng chắn cung EC ) CFE   ( Cùng chắn cung FC) FAC FEC   ( so le trong) DAC BCA Suy ra: BAC  CFE (g.g) BC AC CE AC   FE   AC.sin 300 4 2 CE FE BC Câu 7: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O  Tiếp tuyến B đường tròn  O  cắt đường thẳng qua C song song với AB D a) Chứng minh rằng: BC  AB.CD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; E giao điểm CG BD   Tiếp tuyến C  O  cắ BG F Chứng minh rằng: EAG FAG Lời giải   a) Ta có: BAC ( góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây CBD cung) ABC BCD  ( so le trong)  ABC BCD (g.g)  AB BC   BC  AB.CD (1) BC CD b) Qua A kẻ tiếp tuyến C với  O  cắt đường thẳng qua B song song với AC I, Cắt AF j Nối AE cắt CD H Chứng minh được: BC  AC.BI (2) Từ (1) (2) ta có: AB BI  (3) AC CD AN FN CN   Lại có: AC  JI  JB FB IB Do AN NC  JB IB (4) AP EP BP   Tương tự: AB  FI  CH EC CD Do AP BP  CD CH (5) AB.CD  AC BI  Từ (3),(4),(5) ta có: AB BJ AB AC    AC CH BJ CH Suy ra: ABJ ACH (c.g.c) AHC BJA       JAB HAC  EAB FAC