SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Môn : Tốn Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17/04/2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) A x 1 x2 x 1 x2 x 4x 1 a) Rút gọn biểu thức b) Cho số p n 11n 49 với n Hãy tìm giá trị n để p số nguyên tố Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau x2 27 x x x2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau Câu (2,0 điểm) Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ bên (bốn đỉnh A, B, C , D B, C , D, E C , D, E , F … J , A, B, C gọi bốn đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập hợp M 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số thuộc tập hợp M mà tổng số lớn 21 x y 1 x x x y 105 A J B C I D H G E F Câu (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn O; R Trên cung nhỏ AD lấy điểm E (E không trùng với A D) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N a) Chứng minh IAN NBI b) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy tính độ dài đoạn AE theo R Câu (2,0 điểm) Gọi M điểm tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng DE , GH , IK song song với BC , CA, AB D, G AB; E , I CA, K , H BC S AGMI S BDMK SCEMH S ABC Chứng minh (S diện tích Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : P 3x y 3z x 5 y 5 z ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) c) Rút gọn biểu thức A x 1 x x 1 x A x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 2 x2 x 1 x2 4x x4 1 4x2 x4 1 x x2 x4 1 x2 x 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 4x2 x4 1 2 x x 1 x x 1 2x x 1 x x 1 x x x x x x 1 x x 1 x x x x2 2x 2 1 x x x x x x 1 x x x 1 4x 4x 2 x4 1 x2 x4 1 2 x2 1 16 x 16 x 16 x 16 x 4 x d) Cho số p n 11n 49 với n Hãy tìm giá trị n để p số nguyên tố P n 11n 49 n 14n 49 25n 2 n 5n n 5n n 5n Vì n n 5n n 5n P 0(ktm) n 5n 0 P 0(ktm) n 5n 1 ktm n 3 n 5n 1 n 2 Câu (4,0 điểm) c) Giải phương trình sau x2 27 x 3x x2 2 Đặt x t t x t 1.PT thành : t t 27 x3 x 27 x3 t x t 0 x t x xt t 1 0 t 3 x x 3 x x x 4 x 2 x xt t 0(ktm) d) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x y 1 x x x y 105 x y 1 x x x y 105 x Vì 105 số lẻ nên x y x x y phải số lẻ Từ x y 1 số lẻ mà x số lẻ nên 5y chẵn suy y số chẵn x x x y số lẻ mà x x x x 1 tích hai số nguyên liên tiếp nên số chẵn nên x số lẻ.Điều xảy x 0 Thay x 0 vào phương trình cho ta : y 1 y 1 105 y y 104 0 y 20 y 26 y 104 0 y 26 y 0 26 y ( ktm) y 4(tm) Vậy phương trình cho có nghiệm ngun x; y 0; Câu (2,0 điểm) Cho đa giác có 10 A đỉnh hình vẽ bên (bốn đỉnh A, B, C , D B, C , D, E C , D, E , F … J , A, B, C gọi bốn đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập M 1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9;10 hợp (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số thuộc tập hợp M mà tổng J B C I D H G E F số lớn 21 Gọi x1 , x2 , x3 , , x10 số phân biệt đánh liên tiếp 10 điểm phân biệt thuộc đường tròn O , x1 , x2 , x3 , , x10 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Giả sử ngược lại khơng tìm đỉnh thỏa mãn khẳng định tốn Khi ta có : x1 x2 x3 x4 21 x x x x 21 x3 x4 x5 x6 21 x10 x1 x2 x3 21 Từ suy : x1 x2 x3 x10 10.21 210 10.11 x1 x2 x3 x10 1 10 55 Mặt khác ta lại có : Suy 4.55 210 220 210 (vô lý), điều giả sử sai Vậy ta ln tìm điểm liên tiếp đánh số mà tổng số lớn 21 Câu (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn O; R Trên cung nhỏ AD lấy điểm E (E không trùng với A D) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N B A I E K M O N D c) Chứng minh IAN NBI C ABCD hình vng nên đường chéo DB phân giác ADC Xét NDC NDA có ND chung; NDC NDA (vì DB phân giác ADC ) ; AD DC (ABCD hình vng) NDC NDA NAD NCD mà NCD NBI (cùng chắn cung ED) NAD NBI hay IAN NBI d) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy tính độ dài đoạn AE theo R Vì AEC ADC chắn đường kính AC AEC ADC 90 Xét MDC MEA có : AEC ADC ; DMC EMA (đối đỉnh) DMC ∽ MEA( g g ) Lại có CD MD ME ME.MC MD.MA MD MC MA MC CD MD CD MC CD 5CD 4 5 CD CE CD 10 hay MC 5ME CD EA AM AM CD 10 EA CD R CD MC MC 5 CD Có : Câu (2,0 điểm) Gọi M điểm tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng DE , GH , IK song song với BC , CA, AB D, G AB; E , I CA, K , H BC S AGMI S BDMK SCEMH S ABC Chứng minh (S diện tích A I F D E M B G C J Các tam giác ABC , IDM , MGJ , FME đồng dạng Gọi S , S1 , S2 , S3 diện tích tam giác ABC , IDM , MGJ , FME Ta có : S1 S S3 S S S1 S DM GJ ME DM GJ ME 1 S S S BC BC BC BC S1 S2 S3 S S1 S S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S S AGMI S BDMK SCEMH S ABC Vậy Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : P Ta có : 3x y 3z x 5 y 5 z x 5 y 5 z x xy yz zx y xy yz zx z xy yz zx 6 x y x z 6 y z y x z x z y 3 x y x z 3 x y y z z x z y 2 9x y 6z 3x y z 2 P 3x y z x2 5 y 5 z Đẳng thức xảy x y 1; z 2 Vậy Min P