STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN 12 – BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:………… x 1 x có đồ thị H đường thẳng d : y m 1 x ( với m tham số) Câu Cho hàm số H hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức Tìm tất giá trị m để d cắt P 12 x1 x2 11x1 x2 đạt giá trị lớn y Lời giải H Phương trình hoành độ giao điểm x 1 m 1 x 1 d x là: , ĐK: x 1 1 m2 1 x m x 1 0 H hai điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân Để đường thẳng d cắt biệt khác m m2 1 2 m 1 m m 3 12 0 ( với m R ) H hai điểm phân biệt Suy m R d ln cắt Khi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (2) Ta có: x1 x2 m2 ; x1.x2 2 m 1 m , đó: m2 59 12 11 12 71 P 12 x1 x2 11x1.x2 m m m 1 Do P đạt giá trị lớn 71 m 0 Vậy m 0 giá trị cần tìm Câu Giải phương trình sau tập hợp số thực: 2 1) x x x x 2 x x 2) x log x 1 0 Lời giải Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – 2 1) Ta có x x x x 2 x x x 3x x 3x x 3x 0 2 Đặt t x x , t 0 , phương trình cho trở thành t 3t 2t 0 t 0; t 2; t Kết hợp với điều kiện t 0 , ta có hai trường hợp sau: Với t 0 , ta có x x 0 x 0; x 3 Với t 2 , ta có x 3x 2 x 3x 0 x 1; x 4 Vậy phương trình cho có nghiệm x 0, x 3, x 1, x 4 2) Điều kiện xác định: x y Đặt y log x 1 , 6 x 7 x 6 y y Kết hợp với phương trình cho ta có hệ 7 6 x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ, ta có x y 6 y x x x 7 y y (1) Xét hàm số f t 7t 6t D ; , tập xác định Ta có f t 7t ln 0, t D nên hàm số f đồng biến D Do 1 f x f y x y x Suy x 0 (2) ; g x 7 x Xét hàm số khoảng x g x 7 x ln g x 0 x log ln Ta có ; Bảng biến thiên hàm số g x : Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – ; Mà Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình (2) có khơng q hai nghiệm thuộc khoảng g 0, g 1 0 nên x 0, x 1 tất nghiệm phương trình (2) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 0, x 1 n 1+ x + x2 ) ( x Câu Tìm hệ số số hạng chứa khai triển , biết n số tự nhiên thỏa mãn hệ 2n thức C2 n + C2 n + + C2 n = 512 Giải: *) Ta có = ( 1- 1) 2n = C20n - C21n + C22n - - C22nn- + C22nn 2n n- Suy ra: C2 n + C2 n + + C2 n = C2 n + C2 n + + C2 n Mà 22 n = ( +1) 2n = C20n + C21n + + C22nn = ( C20n + C22n + + C22nn ) +( C21n + C23n + + C22nn- ) = ( C20n + C22n + + C22nn ) 2n = 2.512 = 210 (do C2 n + C2 n + + C2 n = 512 ) Þ 2n = 10 Û n = *) Xét khai triển ( 1+ x + x2 ) 5 k k k =é 1+ x (1+ x) ù ë û = å C5 x ( + x ) k =0 5 ỉk ỉk i i ữ ỗ = C5k x k ỗ C x = C5k Cki x k +i ÷ ÷ ÷ ç ç å å å k ÷ ÷ çi=0 çi=0 i, k ẻ Ơ ,0 Ê i Ê k Ê ( *) è ø k =0 è ø k =0 (với ) ( *) ta trường hợp sau: *) Vì số hạng chứa x nên k + i = Kết hợp với điều kiện ìïï i = ìïï i = ìïï i = ;í ;í í ïỵï k = ïỵï k = ïỵï k = *) Hệ số cần tìm là: C5 C5 + C4 C5 + C3 C5 = 51 Câu h Cho tam giác ABC có AB c , BC a , CA b , a độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A a b c Chứng minh ABC Lời giải Ta có: Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – a a 2S b c b c ABC 2 a a b c b sin C sin B C 3.sin B sin C 1 1 3 sin B sin C sin B cos C sin C sin C cos B sin B 2 2 2 sin B sin C sin B cos C 1 sin C cos B 1 0 3 3 cos B cos C 1 3 3 Vậy tam giác ABC Câu : Một bóng cao su thả rơi từ độ cao h 18m Sau lần chạm đất, bóng lại nảy lên cao độ cao lần rơi trước Giả sử bóng rơi nảy theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài qng đường bóng di chuyển từ lúc thả đến lúc không nảy Lời giải h1 h Tiếp theo bóng rơi xuống quãng Sau lần chạm đất đầu tiên, bóng nảy lên độ cao đường h1 Lần chạm đất thứ hai bóng nảy lên h2 h1 rơi xuống quảng hn hn đường h2 Cứ đến lần chạm đất thứ n bóng nảy lên đến độ cao rơi xuống quãng đường hn Ta thấy dãy h, h1 , h2 , , hn cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q Tổng quãng đường bóng là: s h h1 h2 hn h1 h2 hn h h 1 q q 126m Câu x 1 y 1 5 , tam giác Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trịn tâm I có phương trình ABC nội tiếp đường trịn đường phân giác góc A có phương trình x y 0 Biết hai điểm A I cách đường thẳng BC điểm A có hồnh độ dương Tính diện tích tam giác ABC Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – Lời giải Ta có I 1; 1 I nghiệm hệ Tọa độ giao điểm đường phân giác góc A x 1 y 1 5 x 2, y 1 x y 0 x 1, y phương trình Suy có hai giao điểm A 2;1 A 1; , (Vì A có hồnh độ dương) BC AI Đường thẳng BC vuông góc AI nên phương trình BC có dạng: x y m 0 d A ; BC d I ; BC 1 m 1 m m Phương trình BC : x y 0 21 21 21 21 ; ; 5 5 , Tìm tọa độ điểm B , C là: 1 84 2 21 S ABC BC.d A ; BC 2 5 Vậy diện tích tam giác ABC Chú ý: khơng cần tìm tọa độ B , C mà ta tính diện tích sau: d I ; BC 21 BC (sử dụng pitago) 1 21 2 21 S ABC BC.d A ; BC 2 5 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , chiều cao h khơng đổi Gọi M , N hai điểm di động hai cạnh BC , CD cho góc MAN 45 Đặt BM x Tìm x theo a cho thể tích khối chóp S AMN đạt giá trị nhỏ Lời giải Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – S B α x M C N 45° A D 1 h VS AMN h.S AMN h AM AN sin 45 AM AN 3 12 Ta có Đặt MAB , 0 45 NAD 45 Khi AB AD a2 2a 2 cos cos 45 cos cos sin sin 2 45 Khi VS AMN nhỏ AM AN nhỏ sin 2 45 lớn 22,5 AM AN Vậy Câu x a.tan 22,5 a thể tích khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ 21 Cho a, b, c số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị nhỏ biểu 1 b c 5a M a b c b ac thức Lời giải 1 1 M 1 a 1 b 1 c b c a Biến đổi 1 , x, y 0, xy 1 x y xy Ta có bất đẳng thức 1 x y xy Thật x y xy 0 x, y 0, xy 1 Dấu xảy x y Trang STRONG TEAM TỐN VD-VDC M Do Đặt t 1 a c TỔ 12 – 1 c a b a Dấu xảy b c a 5t 5t M c Vì a b c nên t 1 t t t t t 1 5t f t 0, t 1; f t t t , ta có: Xét hàm số nên hàm số đồng biến 1; Do f t f 1 t 1 f t Vậy M f 1 4 t 1 a b c Trang