Đề thi hsg toán 12 lào cai năm học 2019 2020

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm)  17  x   x   y  14   y 0 ,  x, y     2 x  y   3 x  y  11  x  x  13  a) Giải hệ phương trình  b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  bc b  ca c  ab    44 a  b  c bc ca a b Câu (4.0 điểm) a) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x   x  3 2018  2x x   e  e    x  2x 3  Tìm tất 2 f  x2  8x  m  giá trị thực m để hàm số có điểm cực trị cho x1  x2  x3 50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị b) Cho dãy số  un   u1  ; u2 3  un 2  un 1un  , n 1 un 1  un xác định sau  Chứng minh dãy  un  có giới hạn tìm giới hạn Câu (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD 2 AD 2 AB Gọi M  2;  điểm thuộc cạnh AB cho AB 3 AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x  y  0 Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x  y 0 điểm A thuộc đường thẳng d  : x  y  0 b) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc   S mặt phẳng  ABCD  điểm M thỏa mãn AD 3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , ABCD   N cho ABM MBI MN vng góc với BI Biết góc SC  60 SBC  Tính thể tích khối chóp S AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng  x z Câu (3.0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15  y 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Câu (3.0 điểm) Tính tổng S Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ 2 2018 2018 2019 2019 2 C2019  C2019        C2019    C2019  2019 2018 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH LÀO CAI NĂM 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm) a) Giải hệ phương trình  17  x   x   y  14   y 0 ,  x, y      2 x  y   3 x  y  11  x  x  13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm 5  x 0   y 0   *   x  y  0  Điều kiện: 3 x  y  11 0  y b 0 , phương trình  17  x   x   y  14   y 0 trở Đặt  x a 0 ; thành:  17    a   a     b   14  0   3a   a  3b   b  3a  2a 3b  2b     Xét hàm số Ta có y  f  t  3t  2t  0;  f  t  9t   0, t   0;   nên hàm số y  f t đồng biến  0;  3a  2a 3b3  2b  f  a   f  b   a b Vì với a 0, b 0 Suy  x   y   x 4  y  y  x  Thay y x  vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: x   x   x  x  13  1   x    ;5   Điều kiện Khi phương trình   3x    3x     1      3x    x   x  x   x    36 5x    x  1  x   Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  x  1 Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ 15  x  1  x  1  x   3x  1 5x    x  0  15   x  5x    x      x   15   x     x   5x   Phương trình Đặt g  x   2 15     x, x    ;5 3x  1 5x     g  x   Ta có tương đương với 15   x 5 3x  1 5x   9   75  3x  1 3x       0, x    ;5    5x   5x       ;5 g  x Suy hàm số nghịch biến   Vì phương trình g  x  5     ;5 có nhiều nghiệm   g  x  5 Ta lại có x 0 nghiệm phương trình nên nghiệm Với x  y  Với x 0 y  So sánh điều kiện  * , hệ cho có hai nghiệm  x ; y    ;   ;  ;  1 b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  bc b  ca c  ab    44 a  b  c bc ca a b Lời giải a  bc a  bc  ab  ac  a  b   a  c  a  bc  a  b   a  c  a     a b c b c b c b c Ta có b  c b  ca  b  c   b  a  c  ab  a  c   c  b    b  c ca a b Tương tự ta có: c  a ; a b  P  a  b  a  c   b  c  b  a    c  a   c  b  bc ca a b  a  b  c  44 a  b  c ÁP dụng bất đẳng thức AM-GM Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  a  b   a  c    b  c   b  a  2  a  b  b  c   b  a    c  a   c  b  2  b  c bc ca ca a b Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ  c  a  c  b   a  b  a  c  c  a   a b b c   a  b  a  c  b  c  b  a  c  a   c  b   2    4  a  b  c  bc ca a b    P a  b  c  4 a  b  c 4 Đặt t  a  b  c   a  b  c  a  b  c t  4t Ta có t  4t t  2t   t  2t    t     P       a  b  c 1  a b c   Vậy giá trị nhỏ P   a b c Câu (4.0 điểm) 1 2018  f  x   x  3  e x  e x    x  x  y  f  x 3  a) Cho hàm số có đạo hàm Tìm tất 2 f  x2  8x  m  giá trị thực m để hàm số có điểm cực trị cho x1  x2  x3 50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị Lời giải Cách  x 3 f  x  0   x 0  x 2 Ta có Trong đó, x 3 nghiệm bội chẵn Xét hàm g  x   f  x2  8x  m  có g  x   x   f  x  x  m   x 4  x  x  m 3 g  x  0     x  x  m 2   x  x  m 0 Ta xét hàm h  x  x  8x Khi đó,  x 4   x  x 3  m  x  x 2  m   x  x  m   1  2  3 Hàm số có bảng biến thiên sau Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ  1 ,   ,  3 vơ nghiệm Do đó, hàm số Nếu  m   16  m  19 phương trình g  x có cực trị  1 có nghiệm bội chẵn Nếu  m  16 3  m  18 m 19 phương trình   vơ nghiệm có nghiệm kép, phương trình  3 vơ nghiệm Do nghiệm kép, phương trình g  x đó, hàm số có cực trị  1 có nghiệm bội chẵn, phương Nếu  m  16   m  16 m  18 phương trình   có nghiệm bội lẻ, phương trình  3 vơ nghiệm có nghiệm kép Do đó, hàm số trình g  x   thỏa có ba cực trị Khi đó, giả sử x1 4 x2 , x3 hai nghiệm phương trình mãn điều kiện x22  x32 34   x2  x3   x2 x3 34 Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64   m   34  m 17 (thỏa điều kiện 16 m  18 )  1 có nghiệm bội chẵn, phương trình   có Nếu  m   16  m  16 phương trình  3 có nghiệm đơn Do đó, hàm số g  x  khơng thỏa mãn có ba nghiệm đơn, phương trình cực trị Vậy m 17 giá trị cần tìm Cách Xét hàm g  x   f  x2  8x  m  có g  x   x   f  x  8x  m   x    x  x  m  3 Dấu g  x  dấu với  x2  16 x 2 m x2  x m   e     x  x  m    x  x  m   e  3    x     x  x  m    x  x  m     x 4   x  8   x  x  m    x  x  m   0   x  x  m 0   x  x  m 2  Ta có 2018 Ta xét hàm h  x  x  8x 2  x 4   x  x  m  x  x 2  m  Hàm số có bảng biến thiên sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Hàm số có ba cực trị  m  16   m  16 m  18 Khi đó, giả sử x1 4 x2 , x3 hai nghiệm phương trình x  x 2  m thỏa mãn điều kiện x22  x32 34   x2  x3   x2 x3 34 Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64   m   34  m 17 (thỏa điều kiện 16 m  18 ) Vậy m 17 giá trị cần tìm b) Cho dãy số  un  xác định sau Chứng minh dãy  un   u1  ; u2 3  un 2  un 1un  , n 1 un 1  un  có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyetle Từ un   Suy Đặt Đặt un 1un   u  1  un  1 u    un1  1  un  1 un 2   n 1 n 2 un 1  un un 1  un un 1  un un 2   un 1  1  un  1  un 2   un 1  1  un  1  un  un  ta có 2 vn 1 nên 2  1 xn ln ta xn 2  xn 1  xn Phương trình đặc trưng t  t  0 có nghiệm n 1 t1  1 ; t2  n  1   1  xn            Vậy Từ  u1  2  u2 3  v1    v    x1  ln    x2  ln 1  1    ln   2          ln  2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!   0.38    0.78 Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Vì 1 1  1; 1 2 Suy lim lim Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ n   1 n  1   lim xn lim                   nên un  0 un  Vậy dãy  un  có giới hạn Câu (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD 2 AD 2 AB Gọi M  2;  điểm thuộc cạnh AB cho AB 3 AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x  y  0 Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x  y 0 điểm A thuộc đường thẳng d  : x  y  0 Lời giải +) Đặt BN  x, AB a  MA MN  a  a a 10  10a 4a 2a · MN MB  BN  2MN NB.cos MBN    x  2.x .cos135o 9 Xét BMN có  x2  2 2a a  0  x  3 NF CN CF   Gọi E chân đường vng góc hạ từ B , kẻ NF vng góc với DC Ta có BE CB CE 2 NF CF 2a 2a  4a   a      NF CF   DN        a a 3     10a 10a 20a MD  MN    DN 9 Nhận thấy Suy DMN vuông M uuur D d ;  d  MD  d  2;  d     +) Vì D thuộc đường thẳng d : x  y 0 nên Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ Phương trình đường thẳng MN : x  y  0 có véc tơ phương r uuur r u   1;   MD.u 0  d   D   2;  A  a;  3a   +) Điểm A thuộc đường thẳng d  : 3x  y  0 nên uuu r uuu r uuu r uuu r  a 1  DA  a  2;  3a   , MA  a  2;  3a    DA.MA 0  a  3a  0    a 2 *) Trường hợp 1: Giả sử B  x; y  a 1  A  1;  ta có uuu r uuur uuur AB  x  1; y   ; AM  1;  1  AM  3;   uuu r uuur  x  3  x 4 AB 3 AM  AB 3 AM     B  4;   y    y 2 Vì uuur uuu r uuu r C  x; y  DC  x  2; y   ; AB  3;  3  AB  6;   Giả sử ta có uuur uuu r  x  6  x 4 DC 2 AB  DC 2 AB     C  4;   y   y    Vì *) Trường hợp 2: Giả sử B  x; y  a 2  A  2;  ta có uuu r uuur uuur AB  x  2; y   ; AM  0;   AM  0;  uuu r uuur  x  0  x 2 AB 3 AM  AB 3 AM     B  2;  y   y    Vì uuur uuu r uuu r C  x; y  DC  x  2; y   ; AB  0;   AB  0;12  Giả sử ta có uuur uuu r  x  0 DC 2 AB  DC 2 AB    y   12  Vì  x   C   2;14    y 14 b) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc   S mặt phẳng  ABCD  điểm M thỏa mãn AD 3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , ABCD   N cho ABM MBI MN vuông góc với BI Biết góc SC  60 SBC  Tính thể tích khối chóp S AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng  Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ *) Tính thể tích khối chóp S AMCB : Ta có : DM  AD 2a , AM   CM  DM  CD 3 a  SM   ABCD   SCM 60  SM CM tan 60  Khi : S AMCB AM  CB  AB 5a    V S AMCB 5a 30  SM S AMCB  54 SBC  *) Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng  BM  Ta có : a 13 AB   cos ABM   cos IBM BM 13 a2 DI x  IM x  , IB  a  x   a Đặt 2 Áp dụng định lý cosin ta có 2 a 13a  IM MB  IB  2MB.IB.cos IBM  x   a  x   a   2a 9 7a 13a  x   IB  12 12  a  x  a2 a ABM MBH  BH  AB a, IH IB  BH  12 Gọi H MN  BI Ta có CBI ~ HNI  BI CI HI BI 13a a CN   NI   , CN CD  DI  IN    NI HI CI 60 CD 1 d  N ,  SBC    d  D,  SBC    d  M ,  SBC   5 Suy : Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ MK d  M  SBC   Kẻ ME vuông góc với BC , MK vng góc với SE Suy : 1 13 a 130     MK  2 2 MS ME 10a 13 Ta có : MK a 130  d  N ,  SBC    d  M ,  SBC    65 x z Câu (3.0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15  y 2 Lời giải Người Word hóa: Phạm Văn Chuyền ; Fb: Good Hope Theo yêu cầu toán 15 1 2  z 4 z Khi vế phải phương trình cho chia hết cho 16 Do y phải số lẻ Từ ta được:  y 1 mod  x  15 x  y   1  1 mod   x x 15   1  mod  Vì ta suy x số lẻ Ta lại lập luận tiếp để kết luận z phải số chẵn phản chứng sau: n 2 z 22 n1 2   1 2  mod 3 Nếu z số lẻ y khơng thể chia dư nên ta có mâu z thuẫn Vì  y khơng thể chia hết cho Vậy tới ta tiếp tục tìm nghiệm phương trình cho với giả thiết x, y lẻ, z số chẵn Ta có 15 x  y 2 z  15x  2t  y   2t  y  với t 2 số nguyên thỏa mãn z 2t Ta nhận xét 2 t  y    2t  y  2.2t 2 Do t  y t  2  t  2 15 x  2t  y   2t  y    t  2  2t  Vì 2 t  y khơng thể chia hết cho   2t 1 3x  5x   y 3 x x   y    1 x    y 5   t 1 x  y 1  2 1  15   x  2  y 15 x   y 15    x Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Nếu   x 1    y 1   y 1    z 4 t 2  x 1     y 7   x 1    y 7  t 3    z 6 Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ x  3x  76  t 6  2t 0  mod16  x  n  3, n  Nếu từ Ta có t 3x 27  3 Khi 2n 27   1 2n 13  mod16  3x  x 26  mod16  ; , ta kết luận 5x 125   1  1 2n 13  mod16  vô nghiệm 15 x  2t  1688  t 10  2t 0  mod 32  x  n  3, n  Tương tự thế, từ Ta có luận 5x  16  1  2 n 3 16  2n  3  1 mod 32  Khi  15 x 16  2n  3  mod 32  , ta kết vô nghiệm Vậy nghiệm nguyên dương Câu (3.0 điểm) Tính tổng S  1;1;   1;7;  2 2018 2018 2019 2019 2 C2019  C2019        C2019    C2019  2019 2018 Lời giải Tác giả:Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi Xét số hạng tổng quát : k 2019! 2019! k k k k  C  C2019 2019  C2019  2020  k  2019  k  ! k !  2020  k  !  k  1 ! 2020  k k 2019  k C2019 C2019 , k 1,2, ,2019 Tk  2018 2017 2017 2018 Suy S C2019 C2019  C2019 C2019   C2019 C2019  C2019 C2019 Xét   x 2019  1 x 2019 2019 2019 2019 2019  C2019  C2019 x   C2019 x   C2019  C2019 x   C2019 x  2018   x Hệ số x khai triển 2019   x 2019 : 2018 2017 2017 2018  1 C2019 C2019  C2019 C2019   C2019 C2019  C2019 C2019   x Xét khai triển : 4038 2018 2018 4038 4038 C4038  C4038 x   C4038 x   C4038 x 2018   x Hệ số x khai triển 4038 2018 C4038   Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 11 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Từ  1 Đề HSG lớp p 12 tỉnh nh Lào Cai năm 2018-2019-Tổ  2 ta có 2 2018 2018 2019 2019 2 2018 S C2019  C2019   C2019   C2019  C4038       2019 2018 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 12