Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN NGÀY THI 11/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (6, điểm) Câu y y 1 x y x xy y 2 ln x x2 1 x y Giải hệ phương trình: 3 x 3 y (4,0 điểm) xn 1 Câu 3 , n xn xn x Xét hội tụ dãy số n biết x0 2 , (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O Dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành ABMN ACPQ cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi G giao điểm AQ BM , H giao điểm AN CP Đường tròn ngoại tiếp tam O ) giác GMQ , HNP cắt E F ( E nằm đường tròn a) Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh bốn điểm B, C , O, E thuộc đường tròn Câu (4,0 điểm) Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2,3, 2019 Mỗi bước Thanh xóa hai số a b ab a + b + Trên bảng viết thêm số Chứng minh dù xóa sau thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (6, điểm) Giải hệ phương trình: y y 1 2 x y x xy y 2 ln x x2 1 x y 3 x 3 y Lời giải Tác giả:Lê Thị Nguyên ; Fb: Ngọc Giang Nguyên y y 1 2 x y x xy y 2 ln x x2 1 x y 3 x 3 y 1 2 Điều kiện xác định: x, y x3 y x y 2 ln y y ln x x Phương trình (1) x3 x ln x x y y ln y y Xét hàm số f t t 2t 2ln t t f ' t 3t Suy Do f t t 1 t 1 t 1 , ta có: t 1 2t 2t 0 , t hàm số đồng biến 1 f x f y x y 3x (2 x 1) 2 x 3 Thay x y vào phương trình (2) ta : Nhận xét: Do x khơng nghiệm (3) 3 3x Xét hàm số g x 3x g ' x 3x ln Suy g x x 1 0 2x 2x 1 x , ta có: 1 x ( ; ) ( ; ) (2 x 1)2 g ' x , 2 1 ( ; ) ( ; ) , đồng biến khoảng Suy phương trình (3) có khơng q nghiệm Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC g 1 g 1 0 Mà Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 (3) có hai nghiệm x 1 Vậy tập nghiệm hệ là: { ; 1 ; ; 1 } Câu (4,0 điểm) Xét hội tụ dãy số xn biết x0 2 , xn 1 , n xn xn Lời giải Tác giả: Phan Thị Hiền; Fb: Phan Hiền Cách 1: +) Ta thấy xn 0, n x2 2, 239 3 1 3 1 x 1, 433 4 x0 2 ; ; f x x x +) Xét 0; nghịch biến +) Xét dãy số Dãy số x2n x2n 0; có f x dãy dãy số 2 0, x 0; y f x x2 x nên xn dãy số tăng Thật vậy: -) x0 x2 y f x 0; nên -) Giả sử x2 k x2 k , k Vì nghịch biến x2 k 1 f x2 k f x2 k x2 k x2 k 2 f x2 k 1 f x2 k x2 k Vậy x2 k x2 k 2 Theo nguyên lí quy nạp, x2n , n dãy số tăng x2 n 2, n +) Giả sử lim xn a lim x2 n a a 2 xn 1 Do 3 3 lim xn 1 lim a , n a a xn xn xn xn nên a a a 0 a Vậy giả sử sai Dãy số (mâu thuẫn với a 2 ) xn dãy số phân kì Cách 2: +) Ta thấy xn 0, n x2 2, 239 1 3 x 1, 433 1 x0 2 ; 4 ; Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC +) Ta chứng minh Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 x2 n 2, n , 1 Thật vậy: Với n 0 x0 2 nên với n 0 Giả sử 1 n k , k tức x2 k 2 ta chứng minh với n k 3 x2 k 2 x2 k 1 1 x2 k 2 2 2 4 1 1 Ta có: Theo ngun lí quy nạp ta có x2 n 2, n +) Xét dãy số x2n dãy dãy số xn Giả sử lim xn a lim x2 n a a 2 xn 1 Do 3 3 lim xn 1 lim a , n a a xn xn xn xn nên a a a 0 a Câu (mâu thuẫn với a 2 ) x Vậy giả sử sai Dãy số n dãy số phân kì (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành ABMN ACPQ cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi G giao điểm AQ BM , H giao điểm AN CP Đường tròn ngoại tiếp tam O ) giác GMQ , HNP cắt E F ( E nằm đường tròn a) Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh bốn điểm B, C , O, E thuộc đường trịn Lời giải Tác giả: Hồng Duy Thắng; Fb: Hồng Duy Thắng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Gọi O1 , O2 Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 đường tròn ngoại tiếp tam giác GMQ , HNP suy EF trục đẳng phương O1 , O2 Gọi D giao điểm BM CP suy AGDH hình bình hành Vì ABN CAP AB, AN CA, CP BA, BD AB, AN CA, CP CA, CD A, B, C , D đồng viên Suy CA, CB DA, DG , AB, AC DG, DC GD, GA Suy hai tam giác ABC GAD đồng dạng Mà AB GD AH AC GA AG ABN CAP AB CP CA AN AH CP AQ AG AN AN AH AN AG AQ PA/ O1 PA/ O2 O , O2 A EF Mà EF trục đẳng phương Vậy A, E , F thẳng hàng b) Gọi F MN PQ Ta có: F M , F Q AB, AC GM , GQ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy F O1 Tương tự F O2 Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 Suy F F GB, GE GM , GE FM , FE AB, AE Ta có E , F , M , G đồng viên Suy A, B, E , G đồng viên Tương tự A, C, E , H đồng viên Suy EB, EC EB, EA EA, EC GB, GA HA, HC 2 DB, DC D O OB, OC 2 DB, DC Mà A, B, C , D đồng viên suy EB, EC DB, DC Suy B, C , O, E đồng viên Câu (4,0 điểm) Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2,3, 2019 Mỗi bước Thanh xóa hai số a b ab a + b + Trên bảng viết thêm số Chứng minh dù xóa sau thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung Cách Với tập T = { a1 ; a2 ; ; an } ổ1 ửổ1 ỗ ữ A(T ) = ỗ ỗ +1ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗa2 a è øè số viết bảng t ử ổ1 ữ ỗ ữ ữ +1ữ + ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ a ứ è ø n ỉ ưỉ ỉ1 ÷ ữ ữ ỗ ỗ ị A ( {1; 2; ; 2019} ) = ỗ +1ữ + + = 2020 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ2019 ữ ố1 ữ ứỗ ố2 ữ ứ ố ứ ổ1 ỉ ( a +1)(b +1) ÷ ç ç +1÷ + = = +1 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ab èa øèb ø ab a + b +1 Ta thấy: ab Suy xóa hai số a b thay a + b +1 tập T biến thành tập T ' thì: A(T ) = A(T ') Giả sử sau thực 2018 bước ta số thực x ta có: 1 A({x}) = +1 = 2020 Þ x = x 2019 Vậy bảng ln cịn lại số 2019 Cách ab ab ab = = a + b +1 a + b +1 + ab - ab (a +1)(b +1) - ab Ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TỐN VD VDC Thực xóa ab ;c a + b +1 thêm Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 ab c abc (a +1)(b +1) - ab = ab + c +1 ( a +1)(b +1)(c +1) - abc (a +1)(b +1) - ab 1.2.3 2019 = Sau 2018 lần thực hiện, bảng lại số là: 2.3.4 2020 - 1.2.3 2019 2019 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang