Đề thi hsg toán 12 ninh bình năm học 2019 2020 (2)

Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN NGÀY THI 11/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (6, điểm) Câu  y  y 1  x  y   x  xy  y   2 ln  x  x2 1  x y Giải hệ phương trình: 3 x 3  y  (4,0 điểm) xn 1  Câu 3  ,  n xn xn x  Xét hội tụ dãy số n biết x0 2 , (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O Dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành ABMN ACPQ cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi G giao điểm AQ BM , H giao điểm AN CP Đường tròn ngoại tiếp tam  O  ) giác GMQ , HNP cắt E F ( E nằm đường tròn a) Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh bốn điểm B, C , O, E thuộc đường tròn Câu (4,0 điểm) Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2,3, 2019 Mỗi bước Thanh xóa hai số a b ab a + b + Trên bảng viết thêm số Chứng minh dù xóa sau thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (6, điểm) Giải hệ phương trình:  y  y 1 2  x  y   x  xy  y   2 ln  x  x2 1  x y 3 x 3  y  Lời giải Tác giả:Lê Thị Nguyên ; Fb: Ngọc Giang Nguyên  y  y 1 2  x  y   x  xy  y   2 ln  x  x2 1  x y 3 x 3  y   1  2 Điều kiện xác định: x, y       x3  y   x  y  2 ln y  y   ln x  x  Phương trình (1)     x3  x  ln x  x   y  y  ln y  y  Xét hàm số  f  t  t  2t  2ln t  t  f '  t  3t   Suy Do f t t 1  t  1  t 1    , ta có:  t 1  2t  2t 0 , t   hàm số đồng biến   1  f  x   f  y   x y 3x (2 x  1) 2 x   3 Thay x  y vào phương trình (2) ta : Nhận xét: Do x khơng nghiệm (3)  3  3x  Xét hàm số g  x  3x  g '  x  3x ln  Suy g  x x 1 0 2x  2x 1 x  , ta có: 1 x  ( ; )  ( ; ) (2 x  1)2  g '  x   , 2 1 ( ; ) ( ; ) , đồng biến khoảng Suy phương trình (3) có khơng q nghiệm Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC g  1 g   1 0 Mà Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 (3) có hai nghiệm x 1 Vậy tập nghiệm hệ là: { ; 1 ;   ;  1 } Câu (4,0 điểm) Xét hội tụ dãy số  xn  biết x0 2 , xn 1   ,  n xn xn Lời giải Tác giả: Phan Thị Hiền; Fb: Phan Hiền Cách 1: +) Ta thấy xn  0,  n  x2   2, 239  3 1 3 1  x      1, 433 4  x0 2 ;  ; f  x   x x +) Xét  0;    nghịch biến +) Xét dãy số Dãy số  x2n   x2n   0;    có f  x   dãy dãy số 2   0,  x  0;    y  f  x x2 x nên  xn  dãy số tăng Thật vậy: -) x0  x2 y  f  x  0;    nên -) Giả sử x2 k   x2 k , k  Vì nghịch biến x2 k 1  f  x2 k   f  x2 k   x2 k   x2 k 2  f  x2 k 1   f  x2 k   x2 k Vậy x2 k  x2 k 2 Theo nguyên lí quy nạp,  x2n  , n  dãy số tăng x2 n 2,  n   +) Giả sử  lim xn a  lim x2 n a a 2 xn 1  Do   3 3 lim xn 1 lim     a    ,  n a a xn xn  xn xn  nên    a  a  a  0  a  Vậy giả sử sai Dãy số (mâu thuẫn với a 2 )  xn  dãy số phân kì Cách 2: +) Ta thấy xn  0,  n  x2   2, 239   1 3 x      1, 433 1  x0 2 ;   4 ; Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC +) Ta chứng minh Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 x2 n 2, n  ,  1 Thật vậy: Với n 0 x0 2  nên   với n 0 Giả sử  1  n k , k   tức x2 k 2 ta chứng minh   với n k  3 x2 k 2   x2 k 1   1   x2 k 2   2 2 4   1 1    Ta có: Theo ngun lí quy nạp ta có x2 n 2, n   +) Xét dãy số  x2n  dãy dãy số  xn  Giả sử  lim xn a  lim x2 n a a 2 xn 1  Do   3 3 lim xn 1 lim     a    ,  n a a xn xn  xn xn  nên    a  a  a  0  a  Câu (mâu thuẫn với a 2 ) x  Vậy giả sử sai Dãy số n dãy số phân kì (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng phía ngồi tam giác ABC hình bình hành ABMN ACPQ cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi G giao điểm AQ BM , H giao điểm AN CP Đường tròn ngoại tiếp tam  O  ) giác GMQ , HNP cắt E F ( E nằm đường tròn a) Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng b) Chứng minh bốn điểm B, C , O, E thuộc đường trịn Lời giải Tác giả: Hồng Duy Thắng; Fb: Hồng Duy Thắng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Gọi  O1  ,  O2  Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 đường tròn ngoại tiếp tam giác GMQ , HNP suy EF trục đẳng phương  O1  ,  O2  Gọi D giao điểm BM CP suy AGDH hình bình hành Vì ABN CAP   AB, AN   CA, CP   BA, BD   AB, AN   CA, CP   CA, CD   A, B, C , D đồng viên Suy  CA, CB   DA, DG  ,  AB, AC   DG, DC   GD, GA  Suy hai tam giác ABC GAD đồng dạng  Mà AB GD AH   AC GA AG ABN CAP  AB CP  CA AN AH CP AQ   AG AN AN  AH AN  AG AQ  PA/  O1  PA/  O2    O  ,  O2   A  EF Mà EF trục đẳng phương Vậy A, E , F thẳng hàng b) Gọi F  MN  PQ Ta có:  F M , F Q   AB, AC   GM , GQ  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy F   O1  Tương tự F   O2  Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 Suy F  F   GB, GE   GM , GE   FM , FE   AB, AE  Ta có E , F , M , G đồng viên Suy A, B, E , G đồng viên Tương tự A, C, E , H đồng viên Suy  EB, EC   EB, EA    EA, EC   GB, GA    HA, HC  2  DB, DC  D   O    OB, OC  2  DB, DC  Mà A, B, C , D đồng viên suy   EB, EC   DB, DC  Suy B, C , O, E đồng viên Câu (4,0 điểm) Bạn Thanh viết lên bảng số 1, 2,3, 2019 Mỗi bước Thanh xóa hai số a b ab a + b + Trên bảng viết thêm số Chứng minh dù xóa sau thực 2018 bước bảng ln cịn lại số 2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung Cách Với tập T = { a1 ; a2 ; ; an } ổ1 ửổ1 ỗ ữ A(T ) = ỗ ỗ +1ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗa2 a è øè số viết bảng t ử ổ1 ữ ỗ ữ ữ +1ữ + ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ a ứ è ø n ỉ ưỉ ỉ1 ÷ ữ ữ ỗ ỗ ị A ( {1; 2; ; 2019} ) = ỗ +1ữ + + = 2020 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ2019 ữ ố1 ữ ứỗ ố2 ữ ứ ố ứ ổ1 ỉ ( a +1)(b +1) ÷ ç ç +1÷ + = = +1 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ab èa øèb ø ab a + b +1 Ta thấy: ab Suy xóa hai số a b thay a + b +1 tập T biến thành tập T ' thì: A(T ) = A(T ') Giả sử sau thực 2018 bước ta số thực x ta có: 1 A({x}) = +1 = 2020 Þ x = x 2019 Vậy bảng ln cịn lại số 2019 Cách ab ab ab = = a + b +1 a + b +1 + ab - ab (a +1)(b +1) - ab Ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TỐN VD VDC Thực xóa ab ;c a + b +1 thêm Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 ab c abc (a +1)(b +1) - ab = ab + c +1 ( a +1)(b +1)(c +1) - abc (a +1)(b +1) - ab 1.2.3 2019 = Sau 2018 lần thực hiện, bảng lại số là: 2.3.4 2020 - 1.2.3 2019 2019 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang