Đề thi hsg toán 12 quảng bình năm học 2019 2020

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 ĐỀ HSG 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (2.0 điểm) a Cho hàm số y  5 I ;  C x có đồ thị đường cong   điểm   Viết phương trình đường  C  hai điểm M , N cho I trung điểm MN thẳng d qua I cắt b Cho hàm số y x  x  x  m , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại Câu (2.0 điểm) a Giải phương trình sau tập số thực  : x3  x  x  12  x  3  x   x    x   1 E  1; 2;3; 4;6;8 b Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập (các thẻ khác ghi số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù t Câu (2.0 điểm) Cho tích phân I (t )  x sin x  dx a Tính I (t ) t  b Chứng minh I (t )  I ( t ) 0, t   Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M , N thuộc cạnh SA, SB cho SM SN  , 2  P  mặt phẳng qua hai điểm M , N song song với đường thẳng MA NB Gọi SC a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a , xác định tính theo a diện tích thiết diện  P khối tứ diện SABC với mặt phẳng b Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng hai phần  P chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích Câu (1.0 điểm) Chứng minh với số ngun dương n  ta ln có: log n  n  1  log n 1  n    HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2019 MƠN TOÁN TIME: 180 PHÚT Câu (2.0 điểm) a Cho hàm số y  5 I ;  x có đồ thị đường cong  C  điểm   Viết phương trình  C  hai điểm M , N cho I trung điểm MN đường thẳng d qua I cắt Lời giải Tác giả:Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh, Huyen Nguyen Cách 1:  5 I ;  + Gọi d qua điểm   có hệ số góc k có phương trình là: 5  y k  x     y 12kx  10k  15 6  12 + Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C d :  x 0 12kx  10k  15     g  x  12kx   10k  15  x  12 0 x 12 + Đường cong  C  *  * có hai nghiệm cắt d hai điểm M , N phương trình phân biệt khác  k 0    k   219  84  k 0 k 0   50      10 k  15  4.12 k           k   219  84   12 0  g 0 50        1  1 , gọi x1; x2 hoành độ hai điểm M , N , với x1; x2 hai + Với k thỏa mãn nghiệm phương trình  * + Theo định lý Vi-et ta có: x1  x2    2k   12k + I trung điểm MN khi: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC x1  x2 2 xI  + Với k Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1   2k     2k  4k  k  12k (thỏa mãn  1 ) ta có phương trình đường thẳng d là: x  y  0 Cách 2:  1 M  m;    C   m + , I trung điểm MN nên ta có:     3m 5m   5 N  xI  xM ; yI  yM    m;    ;  m  2m   5  m 0; m    5m    N  C  5m      3m  6m   3m + Vì suy 2m 5   m 0; m    3m  5m  0  m    m 1   1    M   2;  ; N  ;3   3   + Với m  ta có + Với m  1 1   M  ;3  ; N   2;   3   ta có  7 7 MN  ;    2;3  2 + Đường thẳng d qua hai điểm M , nhận làm vecto phương, hay  n  3;   nhận làm vecto pháp tuyến : 1   x     y   0  x  y  0 2  Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là: x  y  0 b Cho hàm số y x  x  2x  m , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại Lời giải Tác giả:Đặng Ân; Fb:Đặng Ân Nguyễn Văn Diệu; Fb Dieupt Nguyên Hàm số y x  x  2x  m TXĐ:  Trường hợp 1: m 1  x  x  m 0 với x   + y x  x  2x  m  x  x  m , hàm số có đồ thị Parabol nên có cực tiểu, suy m 1 không thỏa mãn Trường hợp 2: m  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1    x  x  m x   ;1   m      m ;    y x  x  x  m   x  3x  m x    m ;1   m  + 2 x  x   ;1   m    m ;   y   x  x    m ;1   m  +         1 1 1 m   m  1 1 m  Dễ thấy với m  +) 3 3  x  0  x  1 1 m  m  1 1 m  Dễ thấy với m  +) m , ta có bảng xét dấu y : +) Với x  0  x  x Hàm số đạt cực đại  m 1 +) Với , ta có bảng biến thiên Hàm số khơng có cực đại m hàm số khơng có cực đại Dễ thấy m Vậy hàm số có cực đại với Câu (2.0 điểm) a Giải phương trình sau tập số thực  :  x  x  x  12  x  3 x   x    x 3 Lời giải Tác giả: Đặng Mai Hương, Ngô Quốc Tuấn, FB: Đặng Mai Hương, Quốc Tuấn Cách 1:  x  x  x  12  x  3 x   x    x   x  x   x  3 x   x        (điều kiện x 3 ) x 3 x x  1  x  0   x  x   x x   15 x  x  3x    x  1 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1  x 4  Nhan     x  x  12  x  9  x  1 Giải  1 :  x  x  12  x  9  x Đặt t  x  0 Phương trình  1 trở thành: (Phân tích phương trình  2 t  2t  2t  3t  0   sau: VT  t  at  b   t  ct  dt  e  Đồng hệ số )  t  t  0   :  t  t  1  t  t  3 0    t  t  0  vo nghiem t 0   1  Nhan  t      1   Loai  t   1 9 x   x  Nhan  2    S  4;    Vậy tập nghiệm phương trình cho Cách 2: Điều kiện: x 3 Phương trình cho tương đương với:  x    x  3x  3  x  x    x  3 x  x  1  x 4  Nhan    x  x    x  3 x   x  3x   x  1   x  4  1 Giải (1): x  x    x  3 x  x  3x   x  1   x  x  3  0  x    x  x    x   x  0   x   x  x  12  x  0    x  12 x  46 x  57   x  x  12  x       x  3  x  x  19    x  x  12  x       x  3 x      x  0  x  0  x  x   x    x  x  12  x   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!  x  0 Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1      x  x   x   x  0    x  x   x 0 x     x  3 x   x    x  x  12   0    x 4   2  3  x 4 x     x  *Giải (2):  x 4    x    x 4 9 x  x       x   x  x  19 0    x    *Giải  3 :   x  x  3 x   x 0   x 0 (vô nghiệm x 3 )    S  4;     Vậy phương trình cho có tập nghiệm Cách 3: Phương trình cho tương đương với:  x    x  3x  3  x  3  x   x  x 4  Nhan    x  x   x  3 x   x      x x  1 x  1  1 Giải (1): x  25 x  x  3x  x   x  x  x   x  3   x x  1 x  1 2   x    5( x  4) 1  x  3  x    x  4 1 x  1 Xét hàm số f  t   Suy f  t  t  2t   t  1 t  5t  , t 0 t 1  0, t 0 , suy hàm số  x 4   x   x   x  x  f  t  t  5t  t  đồng biến  0;    x 4    x        x 4   x 9   x    2    x  x  19 0 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1    S  4;     Vậy phương trình cho có tập nghiệm E  1; 2;3; 4;6;8 b) Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập (các thẻ khác ghi số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù Lời giải Cách Admin Nguyễn Trung Kiên  C63 20 Lấy ba thẻ từ thẻ có số cách lấy C6 , nên số phần tử không gian mẫu Gọi biến cố A : “rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù” Giả sử rút ba số  a; b; c  , với a  b  c , c , nên c   4; 6;8  a , b , c ba cạnh tam giác ABC , với BC a , CA b , AB c có góc C tù  a  b2  c 0 cos C  a  b  c   2ab   4 c  a  b 4 c  a  b   a  b  c  a  b , với c   4;6;8  a; b   2;3 thỏa mãn +Xét c 4 có  a; b   3;  +Xét c 6 , a  b  c , c  a  b  2b , nên b 4 a 3 Suy có thỏa mãn +Xét c 8 , a  b  c , c  a  b  2b , nên b 6 a 3 a 4 Suy có hai  a; b   3;6   a; b   4;6  thỏa mãn  4 Suy số phần tử biến cố A A p Nên xác suất cần tìm  A    20 t I  t   x sin x  dx Câu (2.0 điểm) Cho tích phân I t a Tính t  Lời giải Tác giả: Trần Quốc Khang, Hà Lê; Fb: Bi Trần, Ha Le a Khi t  , ta có:  1 x3 I    x sin x dx  x   cos x  dx   x cos x dx   J 20 20 +    Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  + Với J x cos x dx Đặt  + Ta có x2 J  sin x  Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 u  x   dv cos x dx  du 2 xdx   v  sin x  x sin x dx  x sin x dx 0 Đặt u1  x   dv1 sin x dx du1 dx   1 v1  cos x     x  x 1    J    cos x   cos x dx   cos x  sin x      0   2 + Vậy I    3 3  3   J    6 2 b Chứng minh rằng: I  t   I   t  0 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Bình; Fb:Nguyễn Bình t + Xét I ( t )  ( x sin x) dx Đặt x  u , suy dx  du Đổi cận: x 0  u 0 ; x  t  u t t Khi đó: t 2 I (  t )    u sin( u )  du   x sin x  dx 0 t t I (t )  I ( t ) ( x sin x ) dx  ( x sin x) dx 0 0 Vậy (đpcm) Nhận xét: Nếu làm trắc nghiệm làm nhanh t 2 Do hàm số y ( x sin x ) hàm chẵn nên ta có tính chất: t Khi đó: t t t I (t )  I (  t ) ( x sin x) dx  ( x sin x) dx ( x sin x) dx  0 ( x sin x) dx ( x sin x) dx 0 ( x sin x) dx 0 t Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M , N thuộc cạnh SA , SB cho SM SN  , 2  P  mặt phẳng qua hai điểm M , N song song với đường MA NB Gọi thẳng SC a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a , xác định tính theo a diện tích thiết diện  P khối tứ diện S ABC với mặt phẳng Lời giải Tác giả: Phạm Thị Phương Thúy, Trần Bạch Mai; Fb: thuypham, Bạch Mai Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 *) Xác định thiết diện  SC / /  P    SC   SAC   M   P    SAC    P    SAC  MF  MF / / SC ; F  AC  Ta có:   SC / /  P    SC   SBC   N   P    SBC    P    SBC   NE  NE / / SC ; E  BC  Ta có:   Thiết diện tứ giác MNEF Mặt khác ta có: +) NE / / MF  / / SC  +) SMN CFE  MN FE +) +) NE / / SC  NE BN a    NE  SC BS 3 MF / / SC  MF AM 2a    MF  SC AS 3 Vậy thiết diện MNEF hình thang cân *) Tính diện tích thiết diện Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 a  MN  SM  SN  2.SM SN cosMSN  Xét SMN có Kẻ NH  MF , MNEF hình thang cân  MH  MF  NE a a 11   NH  6 Vậy diện tích thiết diện là: S MNEF 1  a 2a  a 11 a 11   NE  MF  NH      2 3  12 b Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng tích hai phần  P chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể Lời giải Tác giả: Trương Hồng Hà & Vũ Việt Tiến; Fb: Trương Hồng Hà & Vũ Việt Tiến Cách 1: Vì mp  P  qua M , N song song với SC nên:  P    SAC  MF ,  F  AC , MF / / SC  ;  P    SBC  NE ,  E  BC , NE / / SC  CF SM CE SN     Khi CA SA ; CB SB  P  chia khối tứ diện SABC thành hai khối: MNEFSC MNEFAB Mặt phẳng + Gọi VSABC V , VMNEFSC V1 , VMNEFAB V2 + Ta có V1 VMNEFSC VCSEF  VSFME  VSMNE VCSEF CE CF 2    VCSEF  V + VCSBA CB CA VSFME SN   V SA  1 SFAE + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 2 d S , AEF   S AEF d  B, AC  AC d  E , AF  FA VSFAE   S AEF   2 3  1 VSABC d  B, AC  AC d  S ,  ABC   S ABC S ABC d  B, AC  AC + Mà V 4  SFAE   VSFAE  V VSABC 9  2 4 VSFME  V  V 27 Từ (1) (2) suy VSMNE SM SN 2    V SA SB 3  3 SABE + 1 d S , ABE   S ABE d  A, BE  BE VSABE   S ABE BE   2   VSABC d S , ABC S S ABC d A, BC BC BC   ABC     + Mà V 1  SABE   VSABE  V VSABC 3  4 2 VSABE  V  V 27 Từ (1) (2) suy 4 V1 VCSEF  VSFME  VSMNE  V  V  V  V  V2  V 27 27 9 + Do V1 V2   + Vậy V2 V1 Cách 2: Vì MF / / NE / / SC nên tứ giác MNEF hình thang Gọi I FE  MN  I  AB Theo định lý Mennelaus, ta có SM AI BN AI IB 1  4   BI IA + AM BI SN AB IE FC IE 1  1  E trung điểm FI FE + IB FE AC VIBNE IB IN IE 1 1 15     V V VIAMF  VIBNE  VIAMF MNEFAB + VIAMF IA IM IF 2 16 VIAMF IA    VIAMF  VBAMF V BA 3 Mặt khác BAMF AM S ABF  S ABC ;   VBAMF  VSABC AS + 15 4  V2  VSABC  V  V1  V 16 9 V1 V2   + Vậy V2 V1 Câu (1.0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n  ta ln có: log n  n  1  log n 1  n   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 12 tỉnh p 12 tỉnh nh Quản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC ng Bình Năm 2019-Tổ 1 Lời giải Tác giả:Hoàng Văn Phiên; Fb:Phiên Văn Hoàng Cách A + Xét log n 1  n    log n 1 n.log n 1  n   log n  n  1 log n 1  n   + Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho hai số dương log n 1 n ta được: log n 1 n.log n 1  n    log n 1 n  log n 1  n   log n 1 n  n    2 2 n  2n   n  1 n  n  n  n  + Mà nên   log n 1  n  2n  2 log n 1  n  2n  log n 1  n  1   1 2 log n 1 n.log n 1  n     log n 1  n     log n 1  n    log n  n  1 log n  n  1 Cách Tác giả:; Fb:Nguyen Trang + Với số nguyên dương n  ta có: ln  n  1 ln  n     log n  n  1  log n 1  n   ln n ln  n  1 ln  x  1 ln x với x  + Xét hàm số ln x ln  x  1  x ln x   x  1 ln  x  1 x  x y   2 x  x  1  ln x   ln x  + Ta có: ln  x  1  ln x   x ln x   x  1 ln  x  1  + Với x  x   x  ;  y  0, x  y Suy hàm số nghịch biến  1;  y  n   y  n  1 + Do với số nguyên dương n  log n  n  1  log n 1  n   Vậy Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 12