STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI (Đề thức) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Họ tên: ………………… ……………………… SBD:…………………… Câu ( 5,0 điểm ) a) Giải phương trình sin x cos x sin x cos x cos x tan x x y 3x x xy 5 x y x xy b) Giải hệ phương trình Câu ( 3,0 điểm ) x 1 x có đồ thị C Chứng minh với m đường thẳng y x m Cho hàm số cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến với y C P k1 A, B Tìm m để biểu thức 2019 k2 2019 đạt giá trị nhỏ Câu ( 3,0 điểm ) C n 1 Cnn3 7 n 3 a) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n 4 Tìm hệ số số hạng chứa x n 3 P x , x 0 x hai triển nhị thức Niu-tơn b) Có hai hộp chứa bi, viên bi mang màu xanh đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy hai viên bi màu xanh 55 84 Tính xác suất để lấy hai viên bi màu đỏ Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết AB 7a , BC 7a E điểm cạnh SC cho CE 2 ES a) Tính thể tích khối chóp E ABC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BE Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD điểm E thuộc cạnh BC Đường thẳng qua A vng góc với AE cắt CD F Gọi M trung điểm EF , A 6;6 M 4; K 3;0 đường thẳng AM cắt CD K Tìm tọa độ điểm D biết , , E có tung độ dương Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 Câu (2,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa c a, c b Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 a 1 64 2a c 2b c P a b 2 2 b c a c ab bc ca a a b HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI (Đề thức) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Họ tên: ………………… ……………………… SBD:…………………… LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu ( 5,0 điểm ) a) Giải phương trình sin x cos x sin x cos x cos x tan x Lời giải Tác giả: Vĩnh Tín, FB: Vĩnh Tín cos x cos x 0 tan x 0 Điều kiện: Khi sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x tan x sin x cos x 3sin x 2sin x cos x 0 sin x 2sin x 2sin x 3 cos x 2sin x sin x sin x cos x cos x 2sin x 0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 1 2sin x 0 2 +) 1 sin x cos x 0 sin x 0 x k , k Z 2 6 x k 2 3 ,k sin x x 2 k 2 +) x k ,k x 2 k 2 Kết hợp điều kiện ta suy nghiệm phương trình là: Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 x y 3x x xy 5 x y x xy b) Giải hệ phương trình Lời giải Tác giả: Nguyễn Hồng Kiệt ; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt x y 3x x 3xy 5 x y x xy Xét hệ phương trình +) Điều kiện: x y x x 3xy 0 +) Xét hàm số: t f ' t t 4 Suy ra, hàm số f t t 1 4 x x 3 t , t ,t 2 * 2 y2 4 y * +) Với điều kiện , từ f t 1 f t t 4 t ; đồng biến 1 3 f y f y ; x x liên tục Do đó, từ Mặt khác y x x x 5 x vào 1 , ta được: +) Thay x không nghiệm , nên viết lại: Nhận thấy, 3x Đặt x 3 2x g x 3x g' x 0 2x 7 x 3 , x , x 2x 3x x 3 10 x 3x 10 2 3x 2 x x x 3x x x 29 x 3x x 3x 10 2x 7 0, x ,x 2 7 7 ; ; Suy đồng biến g 1 g 0 có hai nghiệm x 1,x 6 Mà , nên g x Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 1 6; 1;1 hệ phương trình x; y +) Vậy nghiệm Câu ( điểm ) Cho hàm số TỔ 14 y x 1 x có đồ thị C Chứng minh với m đường thẳng y x m cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k hệ số góc P k1 A, B Tìm m để biểu thức C tiếp tuyến với 2019 k2 2019 đạt giá trị nhỏ Lời giải Tác giả:Trần Lê Vĩnh Phúc ; Fb: Trần Lê Vĩnh Phúc x 1 x m 1 Phương trình hồnh độ giao điểm : x Điều kiện: x Từ 1 x m x Vì 1 m 4.2 m m 0, x m 0 x không nghiệm nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi A x1 , x1 m ; B x2 , x2 m 1 hoành độ tiếp điểm với x1 , x2 hai nghiệm k1 x1 1 2019 2019 P k1 k2 2 k x2 1 Hệ số góc k1.k2 Mà x1.x2 x1 x2 1 k1.k2 2019 4 P 2 2020 Pmin 2 2020 x x2 l k1 k2 m 0 x1 x2 Dấu ”=” xảy Câu ( 3,0 điểm ) C n 1 Cnn3 7 n 3 a) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n 4 Tìm hệ số số hạng chứa x n 3 P x , x khai triển nhị thức Niu-tơn x 0 Lời giải Tác giả:Trần Văn Đức ; Fb: Đức trần văn Trang STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỔ 14 Ta có: Cnn41 Cnn3 7 n 3 n 3 n 7 n ! n 3 ! 7 n n 1 !.3! n !.3! n 3 n 14 n 12 (tm) 12 12 3 n 12, P x C12k 212 k ( 3) k x 24 k x k 0 Với Số hạng chứa x ứng với 24 5k 4 k 4 x C12 Vậy hệ số chứa b) Có hai hộp chứa bi, viên bi mang màu xanh đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất để lấy hai viên bi màu 55 xanh 84 Tính xác suất để lấy hai viên bi màu đỏ Lời giải Tác giả: Nguyễn Thiện ; Fb:Thien Nguyen Giả sử hộp thứ có x viên bi, có a viên bi xanh, hộp thứ hai có y viên bi, có b viên bi xanh (điều kiện x, y, a, b nguyên dương, x y, x a, y b ) Từ giả thiết ta có: x y 20 ab 55 xy 84 (1) (2) xy ( x y ) 100 xy 84 Từ (2) 55 xy 84 ab xy 84 , mặt khác: (3) x 14 Từ (1) (3) suy y 6 Từ (2) (3) suy ab 55 , mà a x 14, b y 6 a 11, b 5 P Vậy xác suất lấy hai viên bi đỏ là: x a y b x y 28 Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết AB 7a , BC 7a E điểm cạnh SC cho CE 2 ES a) Tính thể tích khối chóp E ABC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BE Lời giải Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 Tác giả: Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong a) Tam giác ABC vuông A nên AC = ( 7a ) 2 - ( 7a) = 7a Gọi H trung điểm AB ïìï ( SAB ) ^ ( ABC ) ïï í ( SAB ) Ç ( ABC ) = AB Þ SH ^ ( ABC ) ïï ïï SH Ì ( SAB ) , SH ^ AB ỵ , Tam giác SAB nên SH = 7a VS ABE V SE = = Þ E ABC = VS ABC Cách 1: Ta có VS ABC SC VE ABC 2 7a 343a = VS ABC = SH S ABC = 7a.7a = 3 3 2 18 Þ EJ ^ ( ABC ) Cách 2: Dựng EJ // SH cắt HC J Khi , EJ 2 a 7a = Þ EJ = = SH 3 VE ABC 1 7a 343a = EJ S ABC = a.7 a = 3 18 AC // ( BED ) b) Dựng D cho BCAD hình bình hành Khi Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 d ( AC , BE ) = d ( AC , ( BED ) ) = d ( A, ( BED ) ) = 2d ( H, ( BED ) ) Vì BD ^ ( SAB ) Þ ( BDE ) ^ ( SAB ) Từ H kẻ HK ^ BI K Khi 7a HI = SH = Ta có Trong tam giác vng BIH ỉ4 1 = 2+ =ỗ ỗ 2 ỗ7 a HK HI HB ố I = SH ầ DE ị ( SAB ) Ç ( BDE ) = BI Gọi HK ^ ( BDE ) Þ d ( AC , BE ) = HK : ö ổ2 ử2 a 21 ữ ữ +ỗ = ị HK = ữ ữ ỗ ữ ỗ7a ữ ứ 21a 3ø è Þ d ( AC , BE ) = HK = a 21 Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD điểm E thuộc cạnh BC Đường thẳng qua A vng góc với AE cắt CD F Gọi M trung điểm EF , A 6;6 M 4; K 3;0 đường thẳng AM cắt CD K Tìm tọa độ điểm D biết , , E có tung độ dương Lời giải Tác giả:Nguyễn Phong Vũ ; Fb:Nguyễn Phong Vũ Ta có ABE ADF AB AD BAE DAF (cùng phụ với DAE ) Suy AEF vuông cân Do M trung điểm EF AM EF ME MA MF AM 2; Ta có AM 20 Đường thẳng EF qua M vng góc với MA nên có phương trình x y 0 2 x y 20 Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AFE : x y 20 x y 0 E , F Tọa độ điểm thỏa hệ Giải hệ ta tọa độ E 0; F 8;0 yE , ,( ) Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Với TỔ 14 E 0; F 8;0 , F 8;0 K 3;0 Đường thẳng CD qua nên có phương trình y 0 A 6;6 Đường thẳng AD qua vng góc với FK nên có phương trình x 0 D CD AD D 6, Cho số thực không âm a, b, c thỏa c a, c b Tìm giá trị nhỏ biểu Câu (2,0 điểm) 2 a 1 64 2a c 2b c P a b 2 2 b c a c ab bc ca a a b thức Lời giải Tác giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành a c 2 Ta có : c a 2 ; b c 2 c b 2 ; 1 1 c c ab bc ca a b 2 2 2 c c a b 64 2 2 a P a b 4 c c a c c a b a b 2 2 2 2 Suy Đặt a c c x ; b y ; x 0; y 2 Ta có x2 y 64 1 P x y 4 4 16 x xy y a c a c 2 Hay x y P 4 y x x y x y 16 16 y x y x x y t , t 2 f t 4 t t 3t 16 y x Đặt Xét hàm số Ta có f t 4 4t 6t 6t 10 , f t 0 t Lập bảng biến thiên suy f t 63 a 1 P b 2 P c 0 Suy a 1 b c 0 Pmin Vậy Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 HẾT Trang