Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN NGÀY THI 12/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P ( x) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P( a) 1, P(b) 2 P(c ) 3 Chứng minh rằng: a c 2b Câu (5,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 ab bc ca 4 2 9 a b2 c a b c a b c Câu (6,0 điểm) O , đường tròn tâm I tiếp xúc với tia Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn AB , AD E F , đồng thời tiếp xúc với đường tròn O điểm T Hai O cắt K Các đường thẳng TE , TF tiếp tuyến A T đường tròn O thứ tự điểm M , N ( M , N khác T ) cắt đường tròn a) Chứng minh ba điểm K , M , N thẳng hàng b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC P , đường thẳng KP cắt đường thẳng CN Q Chứng minh rằng: Nếu N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ Câu bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ACD (5,0 điểm) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp * G n * : f (m) f (n), m , m n gọi pi số nguyên tố thứ i (i ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n k Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn pm M ( p1 p2 pm ) k Chứng minh rằng: Nếu n M n thuộc G n chia hết cho pm HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P ( x) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P( a) 1, P(b) 2 P(c ) 3 Chứng minh rằng: a c 2b Lời giải Tác giả: Trần Dung ; Fb: Trần Dung Cách 1: Đa thức có nghiệm x b viết dạng ( x b).q( x) Vì P (b) 2 nên ta có P ( x) ( x b).q( x) với q ( x) [x] P (a ) 1 1 P (a ) ( a b).q (a ) P ( c ) 3 P ( c ) ( c b ) q ( c ) P ( x ) Ta có: thay vào ta Vì a b, c b, q a , q c ( a b).q (a ) (c b).q (c) 1 số nguyên nên a b c b ước a b 1 a b c b c b 1 Ta có P (a) P (c) a c Suy ra: a c 2b Cách 2: Bổ đề: Cho P ( x ) đa thức với hệ số nguyên; a, b hai số nguyên khác Khi đó: P( a) P(b) a b Trở lại tốn Ta có: P (a) P (b) P (c) P(b) P ( a ) P (c ) nên a b c b a c P( a) P (b) a b P(c) P(b) c b Khi đó: 2 a b 1 a b 3 c b 1 c b Như vậy: a b c b ước a b c b 1 Suy ra: a b 1 c b a c 2b Câu (4,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 ab bc ca 4 2 9 a b2 c a b c a b c Lời giải Ta có 1 1 ab bc ca 4 2 a b2 c2 a b c a b c Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a b ab b c bc c a ca Không giảm tổng quát giả sử 2 a b a b c Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 a c b c a2 b2 c2 a b b a c * c Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có: a b a c 2 b c 2 a b a c c b 2 a b a c a b a c b c c a b c b 1 Đẳng thức xảy b c Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM: 2 a b c 2a b c 2 2a b c Suy 2 a b c a b2 c2 2 2 a b a c 2 a b a c a b c a b2 c 2 Đẳng thức xảy a b c a b c a b c 3bc 2bc ( a b c ) Từ 1 , , 3 b c bc 2 b c a b2 c2 3 suy điều phải chứng minh Dấu xảy a b c a 2b 2c hoán vị Câu (4,0 điểm) O , đường tròn tâm I tiếp xúc với tia Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn AB , AD E F , đồng thời tiếp xúc với đường tròn O điểm T Hai O cắt K Các đường thẳng TE , TF tiếp tuyến A T đường tròn O thứ tự điểm M , N ( M , N khác T ) cắt đường tròn a) Chứng minh ba điểm K , M , N thẳng hàng b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC P , đường thẳng KP cắt đường thẳng CN Q Chứng minh rằng: Nếu N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ACD Lời giải Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Phong I thành đường tròn O Phép vị tự tâm T , tỉ số k biến đường trịn k Khi T , E , M thẳng hàng E ( I ), M (O) nên VT : E M Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 k Do T , F , N thẳng hàng F ( I ), N (O ) nên VT : F N I suy VTk : L A Gọi L giao điểm AT I TL đồng qui A TELF tứ giác điều hòa Tiếp tuyến E , F Phép vị tự tâm T , tỉ số k biến tứ giác TELF thành TMAN nên TMAN tứ giác điều hòa Suy K , M , N thẳng hàng O Từ IE //OM nên OM AB M điểm cung AB O Tương tự: N điểm cung AD Phân giác góc BAC cắt CM P , mà CM phân giác góc ACB nên P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ngoài ra, Q thuộc CN phân giác góc ACD NQ NA ND nên Q tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Gọi r1 , r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ADC Do K , P, Q thẳng hàng nên theo định lý Menelaus cho tam giác MCN với cát tuyến K , P, Q ta PC KM QN 1 có: PM KN QC Tam giác KAM ~ KNA KM KM KA AM KA KN AN Mặt khác: KN QC AM sin ACM QC sin NCA PC sin MCA Suy PC AN sin ACN Suy r1 r2 Ta có điều phải chứng minh Câu 4: (5,0 điểm) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp * G n * : f (m) f (n), m , m n gọi pi số nguyên tố thứ i (i ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n k Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn pm M ( p1 p2 pm ) k Chứng minh rằng: Nếu n M n thuộc G n chia hết cho pm Lời giải Tác giả: điểm ka k1 k2 Giả sử n p1 p2 pa (k i N,i 1, a ) f(n) (k1 1)(k 1) (k a 1) Giả sử n chia hết cho pm , tồn i thỏa mãn i m a mà n không chia hết cho pi Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 Suy k m 1, ki 0 Xét n0 n0 n n pi pm ta có: f (n0 ) f(n) (k i 2) k m 2km f (n) (k i 1)(k m 1) km 1 Do km 1 2km km nên f (n0 ) f (n) mâu thuẫn Vậy n chia hết cho pi với i 1, 2, , m điểm Xét n G n M p , p , , pm 1 Giả sử khơng chia hết cho pm ước n thuộc tập p pm p , p , , pm , , p j ( Thật vậy, giả sử n có ước j theo ý (a) n chia hết cho Mâu thuẫn.) km k1 k2 Suy : n p1 p2 pm (k i N,i 1, m 1) Vì n M nên tồn tại: i m cho ki 2k Đặt n1 n pik n0 n1 pm Do pik 2k pm suy n0 n f(n) (k1 1)(k 1) (k t 1) f(n ) (k1 1)(k 1) (k i 1)(k i k 1)(k i 1 1) (k t 1).2 Vì ki 2k 2(k i k 1) k i f (n ) f(n) Mâu thuẫn Vậy có điều cần chứng minh HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang