1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Đề thi hsg toán 12 ninh bình năm học 2018 2019

5 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 1,26 MB

Nội dung

Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN NGÀY THI 12/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P ( x) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P( a) 1, P(b) 2 P(c ) 3 Chứng minh rằng: a  c 2b Câu (5,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 ab  bc  ca    4 2 9  a  b2  c a b c  a  b  c   Câu (6,0 điểm)  O  , đường tròn tâm I tiếp xúc với tia Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn AB , AD E F , đồng thời tiếp xúc với đường tròn  O  điểm T Hai  O  cắt K Các đường thẳng TE , TF tiếp tuyến A T đường tròn  O  thứ tự điểm M , N ( M , N khác T ) cắt đường tròn a) Chứng minh ba điểm K , M , N thẳng hàng b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC P , đường thẳng KP cắt đường thẳng CN Q Chứng minh rằng: Nếu N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ Câu bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ACD (5,0 điểm) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp * G  n  * : f (m)  f (n),  m  ,  m  n gọi pi số nguyên tố thứ i (i   ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n k Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn  pm M ( p1 p2 pm  ) k Chứng minh rằng: Nếu n  M n thuộc G n chia hết cho pm HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P ( x) có hệ số nguyên a, b, c số nguyên thỏa mãn P( a) 1, P(b) 2 P(c ) 3 Chứng minh rằng: a  c 2b Lời giải Tác giả: Trần Dung ; Fb: Trần Dung Cách 1: Đa thức có nghiệm x b viết dạng ( x  b).q( x) Vì P (b) 2 nên ta có P ( x) ( x  b).q( x)  với q ( x)  [x]  P (a ) 1 1 P (a ) ( a  b).q (a )     P ( c )  3  P ( c )  ( c  b ) q ( c )  P ( x )   Ta có: thay vào ta Vì a  b, c  b, q  a  , q  c  ( a  b).q (a )   (c  b).q (c) 1 số nguyên nên a  b c  b ước  a  b 1 a  b    c  b  c  b 1 Ta có P (a) P (c)  a c Suy ra:   a  c 2b Cách 2: Bổ đề: Cho P ( x ) đa thức với hệ số nguyên; a, b hai số nguyên khác Khi đó: P( a)  P(b) a  b Trở lại tốn Ta có:  P (a) P (b)   P (c) P(b)  P ( a )  P (c )  nên a b  c b a c   P( a)  P (b) a  b   P(c)  P(b) c  b Khi đó:  2  a  b 1 a  b   3  c  b 1 c  b Như vậy: a  b c  b ước a  b   c  b 1 Suy ra:   a  b 1  c  b   a  c 2b Câu (4,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 ab  bc  ca    4 2 9  a  b2  c a b c  a  b  c   Lời giải Ta có 1 1 ab  bc  ca     4  2 a  b2  c2  a b c  a  b  c   Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC   a  b ab  b  c  bc  c  a  ca Không giảm tổng quát giả sử 2  a  b a b c  Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019   a  c   b  c a2  b2  c2  a  b b  a  c   * c Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có:   a  b  a  c  2     b  c  2   a  b    a  c   c   b 2   a  b   a  c    a  b  a  c        b  c   c  a  b  c  b  1 Đẳng thức xảy b c Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM: 2  a  b  c  2a   b  c  2 2a  b  c   Suy 2  a  b  c  a  b2  c2 2 2   a  b   a  c    2  a  b    a  c  a  b  c a  b2  c  2 Đẳng thức xảy a b c a b  c a  b  c 3bc  2bc ( a b c ) Từ  1 ,   ,  3   b  c bc 2  b  c a  b2  c2  3 suy điều phải chứng minh Dấu xảy a b c a  2b  2c hoán vị Câu (4,0 điểm)  O  , đường tròn tâm I tiếp xúc với tia Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn AB , AD E F , đồng thời tiếp xúc với đường tròn  O  điểm T Hai  O  cắt K Các đường thẳng TE , TF tiếp tuyến A T đường tròn  O  thứ tự điểm M , N ( M , N khác T ) cắt đường tròn a) Chứng minh ba điểm K , M , N thẳng hàng b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC P , đường thẳng KP cắt đường thẳng CN Q Chứng minh rằng: Nếu N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ACD Lời giải Tác giả: Võ Thanh Phong; Fb: Võ Phong  I  thành đường tròn  O  Phép vị tự tâm T , tỉ số k biến đường trịn k Khi T , E , M thẳng hàng E  ( I ), M  (O) nên VT : E  M Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 k Do T , F , N thẳng hàng F  ( I ), N  (O ) nên VT : F  N  I  suy VTk : L  A Gọi L giao điểm AT  I  TL đồng qui A  TELF tứ giác điều hòa Tiếp tuyến E , F Phép vị tự tâm T , tỉ số k biến tứ giác TELF thành TMAN nên TMAN tứ giác điều hòa Suy K , M , N thẳng hàng  O Từ IE //OM nên OM  AB  M điểm cung AB  O Tương tự: N điểm cung AD   Phân giác góc BAC cắt CM P , mà CM phân giác góc ACB nên P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC  Ngoài ra, Q thuộc CN phân giác góc ACD NQ NA ND nên Q tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Gọi r1 , r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ADC Do K , P, Q thẳng hàng nên theo định lý Menelaus cho tam giác MCN với cát tuyến K , P, Q ta PC KM QN   1 có: PM KN QC Tam giác KAM ~ KNA KM KM KA  AM      KA KN  AN  Mặt khác: KN QC AM sin ACM      QC sin NCA PC sin MCA Suy PC AN sin ACN Suy r1 r2 Ta có điều phải chứng minh Câu 4: (5,0 điểm) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước nguyên dương Xét tập hợp * G  n  * : f (m)  f (n),  m  ,  m  n gọi pi số nguyên tố thứ i (i   ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n k Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn  pm M ( p1 p2 pm  ) k Chứng minh rằng: Nếu n  M n thuộc G n chia hết cho pm Lời giải Tác giả: điểm ka k1 k2 Giả sử n  p1 p2 pa (k i  N,i 1, a )  f(n) (k1  1)(k  1) (k a  1) Giả sử n chia hết cho pm , tồn i thỏa mãn i  m a mà n không chia hết cho pi Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình C SINH GIỎI Ninh Bình I Ninh Bình - Năm 2019 Suy k m 1, ki 0 Xét n0  n0  n n pi pm ta có: f (n0 ) f(n) (k i  2) k m 2km  f (n) (k i  1)(k m  1) km 1 Do km 1  2km km  nên f (n0 )  f (n) mâu thuẫn Vậy n chia hết cho pi với i 1, 2, , m điểm Xét n  G n  M  p , p , , pm 1 Giả sử khơng chia hết cho pm ước n thuộc tập p  pm p , p , , pm , , p j ( Thật vậy, giả sử n có ước j theo ý (a) n chia hết cho Mâu thuẫn.) km k1 k2 Suy : n  p1 p2 pm  (k i  N,i 1, m  1) Vì n  M nên tồn tại: i m  cho ki  2k Đặt n1  n pik n0 n1 pm Do pik 2k  pm suy n0  n f(n) (k1 1)(k 1) (k t 1) f(n ) (k1 1)(k  1) (k i   1)(k i  k  1)(k i 1  1) (k t  1).2 Vì ki   2k  2(k i  k  1)  k i   f (n )  f(n) Mâu thuẫn Vậy có điều cần chứng minh HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang

Ngày đăng: 24/10/2023, 22:58

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w