Đề thi hsg toán 12 lâm đồng năm học 2019 2020

STRONG TEAM TỐN VD-VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm 02 trang Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2 0 Câu (4,0 điểm) y  x3  x   m  1 x  3m2  a) Cho a log b log 12 Tính log 60 theo a b x2  x   x 2  b) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để 2 sơn phần tơ đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? A E F B D C Biết AD 4 m , CD 3m AE EF FB Câu (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;3) , B( 3;1;3) , C(1;5;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho biểu thức trị nhỏ có giá k Câu (2,0 điểm) Tính tổng Câu (2,0 điểm) k 2019 S 22 C2019  32 C2019     1 k 2C2019   20192 C2019 a) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với 2a mặt phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 b) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB 2 3, AA ' 3 , Gọi M , N , P  AB ' C ' trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ' , BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MNP  Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình ìï x + y + = xy ïï í x+ y ïï = m x + y + x + x + y + y + ïỵ ( có nghiệm Câu ) ( x; y ) thỏa mãn x ³ 1, y ³ (2,0 điểm) 2 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z x  y  z 5 Tìm giá trị nhỏ biểu P  x  y   y  z   z  x   xy  yz  zx  thức Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2 0 y  x3  x   m  1 x  3m  có hai Lời giải Ta có y '  3x  x   m  1 Để hàm số có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt   '   32  3.3  m2  1   9m   m 0 (*)  x1  x2 2  Áp dụng định lý Vi-et ta có:  x1 x2 1  m kết hợp điều kiện đề ta hệ phương trình   x1   x1  x2 2      x1 x2 1  m   x2   x  x 0   16  1  m     x1     x2   m  3   25 m   thỏa mãn (*) m  Vậy Câu (4.0 điểm) 2.1 Cho a log b log 12 Tính log 60 theo a b 2.2 Giải phương trình  x   x 2  x2 Lời giải Tác giả:Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham 2.1 Ta có log a log b     log a log 12 a.b  log a  b  1 log 12 b  log 60   ab  ab log 60  log 12    a  a  b  1 a   b log log  log Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 2.2 Điều kiện   x 1 Đặt t   x   x  t2    x2 , với t  Phương trình theo t có dạng  t2      t    t  2 t  4t  8 0  t 2 (nhận) Với t 2 ta  x   x 2   x 1  x 0 Vậy phương trình có nghiệm x 0 Câu (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để 2 sơn phần tô đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? E A F B D C Biết AD 4 m , CD 3m AE EF FB Lời giải A E G F B H D I K C Gọi G , I trung điểm AB , CD Gọi H giao điểm EC , DF K điểm thỏa FK  DC Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Xét tam giác vng DFK DHI có tan HDI  Ta có HI FK  HI   1,5  HI 3  GH 1 DI DK S ABCD  AD AB 4.3 12  m  1 S ADE SBCF  DA AE  4.1 2  m  2 1 S DHC  HI DC  3.3 4,5  m  2 1 SEHF  GH EF  1.1 0,5  m  2  2SEHD S ABCD   2SADE  S DHC  SEHF  3  m  Vậy số tiền để sơn biển quảng cáo T 3.250000  9.160000 2190000 (đồng) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;3) , B( 3;1;3) , C(1;5;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho biểu thức có giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team toán vd - vdc Gọi K trung điểm BC , ta có : K ( 1;3;2) Suy ra: Nhận xét: A, K nằm phía so với mặt phẳng (Oxy) Gọi A' điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng (Oxy) Khi Suy T đạt GTNN  đạt GTNN  A', M, K thẳng hàng hay M giao điểm A' K với mặt phẳng (Oxy) Ta có H(1;0;0) Do phương trình tham số A' K Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019  x1 2t   M( ; ;0)  y3t 5  z  3 5t  k Câu (2 điểm) Tính tổng k 2019 S 22 C2019  32 C2019     1 k 2C2019   20192 C2019 Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Trước hết ta chứng minh đẳng thức: Thật vậy: k Cnk n  n  1 Cnk 22  nCnk11  1  k n, k , n  *  k Cnk k  k  1 Cnk  kCnk  2 Mà: kCnk k Áp dụng Từ  n  1 !  n  1 ! n! n n nCnk11  3 k !  n  k  !  k  1 !  n  k  !  k  1 !   n  1   k  1  !  3 hai lần ta được:   ,  3 ,   Áp dụng 2019 ta  k  1 k.Cnk  k  1 n.Cnk11 n  k  1 Cnk11 n  n  1 Cnk 22    1  1 ta được: 2019 k k k k k1 S     1 k C2019     1  2019.2018.C2017  2019.C2018  k 2 2017 2018.2019. C k 2017 k 0 2018.2019   1 k 2 k 2018 k   1  2019. C2018   1 2017  k 1 2018  2019   1 k   2019 Vậy S 2019 Câu (4 điểm) a) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với 2a mặt phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC b) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB 2 3, AA ' 3 , Gọi M , N , P  AB ' C ' trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ' , BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MNP  Lời giải a) Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 S K B C M H A Theo giả thiết Từ suy Vậy có: N D ABCD hình vng, suy ADM DNC (c.g.c) ADH DCN   DM  CN  a2  a NC  DC  DN  a     ; HC CD  2a ; HD  DC.DN  a ;   CN NC 5 HM MD  HD  a a 3a 1 2a 3a 3a   S HMC  HC.HM   10 2 10 10 SH  ( ABCD)  SH  DM Mặt khác, ta có Theo chứng minh DM  CN  DM  ( SCN ) Kẻ HK  SC HK khoảng cách hai đường thẳng DM SC Suy HK  2a Tam giác SHC vuông H , đường cao HK suy 1 1 1  2      SH a 2 2 HK SH HC SH HK HC a 1 3a a3 VSHMC  S HMC SH  a  3 10 10 Vậy b) Cách 1: Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Gọi I , Q trung điểm cạnh MN B ' C ' , PI  AQ  G  G   AB ' C '   MNP  sử AQ 3 2, PI    MN   MNP  , B ' C '   AB ' C '     MN B ' C ' Hơn nên giao tuyến hai mặt đường thẳng  qua G song song với MN B ' C '  AB ' C ' Giả  MNP  B ' C '   AA ' QP   AG   Ta có , chứng minh tương tự PG   ,  AB ' C ' ,  MNP   AG , PG  Mặt khác IQ AP , theo định lý Ta-lét ta có:  GQ GI IQ 2     GA 2GQ  AQ 2 2; GP 2GI  PI  GA GP AP 3 2 GA  GP  AP cos AGP  2GA.GP Xét tam giác AGP có Vậy cos  AB ' C ' ,  MNP     2  5  2  32  10 10 Cách Gọi I , Q, X trung điểm MN , B ' C ' AA ' Ta có AP PQ QA '  A ' A 3 A ' AP 90o nên tứ giác APQA ' hình vng Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019  IPQ XQA '  c  g  c   IPQ  XQA '  PI  QX  1 B ' C '   APQA '   B ' C '  QX Từ (1) (2) suy Do mà QX   MNP  Ta có MN B ' C '  MN  QX   A ' P   AB ' C ' , chứng minh tương tự ta có  AB ' C ' ,  MNP   A 'P , QX   TP TQ PQ   2 XA  PQ Ta có , theo định lý Ta-lét có TA TX XA , từ ta TP 2 2, QX  Áp dụng định lý cosin cho tam giác PTQ ta có 2 TP  TQ  PQ  cosPTQ  2TP.TQ Vậy  2  5  cos  AB ' C ' ,  MNP    2  32  10 10 Cách Gọi I , O, J trung điểm cạnh B ' C ', MN , AP Ta có MN  B ' C ' A ' I  B ' C '  MN  A ' I Đặt hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O  0;0;0  , chiều dương Ox trùng với tia ON , chiều dương Oy trùng với tia OI , chiều dương Oz trùng với tia OJ Khi ta có:             A  0;  ;3  , B '   3; ;0  , C '  3; ;0  , M   ;0;  , N  ;0;0  , P  0; ;3                 AB ' C '  MNP  Ta có Gọi n1 n2 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng     n1  AB ', AC '  0;1;1 , n2  MN , MP   0;  2;1   cos  AB ' C ' ,  MNP    cos  n1; n2    1 02  12  12 02      12 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  10  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy Câu HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 10 cos  AB ' C ' ,  MNP    Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình ïìï x + y + = xy ïí ïï x+ y = m x + y + x + x + y + y + ïỵ ( có nghiệm ) ( x; y ) thỏa mãn x ³ 1, y ³ Lời giải ìï x + y + = xy ïï í x+y ïï = m x + y + x + x + y + y + Xét hệ phương trình ïỵ ( Từ ( 1) ) ( 2) (với x, y ³ ) ( 1) ta có x + y = xy - Thế vào ( 2) ta được: ( ( ) x+y = m x + y + x + xy + y +1 Û x+y = m x + y + Đặt t = x + y ³ x + y + = xy £ ( x + y) 2 ( x + y ) +1 ) ( *) Þ x+y ³ 4Þ t ³ ( x - 1) ( y - 1) ³ Þ xy - x - y +1 ³ Þ xy ³ x + y - Do x ³ 1, y ³ nên t +4 ³ t - 1Þ t £ Suy Do ( *) Û 2t = m ( t + t +1) Û m = 2t ( t +1 - t ) m = 2t Hệ cho có nghiệm x ³ 1, y ³ phương trình t Ỵ [ 4;6] Xét hàm số f ( t) = t ( t +1 - t t +1 ³ t ³ t Do v f Â( t ) > t ẻ [ 4;6] với Suy f ( t) ) , t Ỵ [ 4;6] , ta có t +1 ³ hàm đồng biến f ( 4) £ m £ f ( 6) Û 16 ( ) f ¢( t ) = 2t ( 17, " t ẻ [ 4;6] ị ln - ( t +1 - t æ t +1 - t ç ln ç ç ç è t +1 ) có nghiệm ) ÷ ÷ ÷ t +1 ÷ ø ³ ln - >0 17 nên [ 4;6] Do để phương trình ( *) có nghiệm 17 - £ m £ 64 ( ) 37 - Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 10  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy Câu 16 ( HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 ) 17 - £ m £ 64 ( 37 - ) thỏa mãn yêu cầu toán (2,0 điểm) 2 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y z x  y  z 5 Tìm giá trị nhỏ biểu P  x  y   y  z   z  x   xy  yz  zx  thức Lời giải Cách 1: Đặt Q  x  y   y  z   x  z   xy  yz  zx  ta có Q  P +) xy  yz  zx  ta có Q  +) xy  yz  zx 0 đặt t  xy  yz  zx 0 x y y z  x  y   y  z   x  z      Áp dụng BĐT Cơsi ta có Mà  x  z  x  y  z  xy  yz  zx  2  x  z    x  y    y  z  2  x  z   1 2 2  x  z     x  y    y  z   3  x  z   t  3  x  z  0 hay     t 5 4 3  Q  t  5 t   t 5 t     suy 5  Từ Xét hàm số f  t  t   t  với t   0;5  t 2 f  t  t   t   10  5t  , f  t  0   t 0  t 5 Ta có f   0, f   0, f   108 Do Q 4 nên GTLN Q x 2, y 1, z 0 Suy P  nên GTNN P  x 2, y 1, z 0 Cách 2: 2 Đặt t  xy  yz  zx  x  y  z  t 5 Ta có: 2 2 2 10 2 x  y  z  x  y    y  z    z  x   2t   x  y    y  z    z  x  10  2t Mà  x  y 2   y  z   z  x 2  z  x  5  t 2   x  y  y  z    z  x    z  x   2 4  x  z   x  y y  z   x  z    t  x y y z  x  y   y  z           16     Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 11  STRONG TEAM TỐN VD-VDC Ta có: P  x  y  HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 2  y  z   z  x   xy  yz  zx  2   t  20  4t  t    t  t  27   Xét hàm số suy P 16  P  t 2 x 2, y 1, z 0 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 12 