SỞ GD&DDT SƠN LA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 26/03/2022 Thời gian làm : 150 phút Câu (4,0 điểm) x4 x 4 x x 1 x 0 A : x x 1 x x 1 x x 1) Rút gọn biểu thức x x 15 x x x 1 B 2 3x 10 x x với x thỏa mãn x 3x 2) Tính giá tri biểu thức Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x 3m x 2m m 0 1 (với x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 3x2 Câu (4,0 điểm) x y 3x y 4 5x y x y 1 3x y a) Giải hệ phương trình : 2x x 4 x b) Giải phương trình Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định , ( (O) d khơng có điểm chung) Điểm P di động đường thẳng d , từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A B thuộc đường tròn (O)), PO giao AB I Gọi H chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC , E giao điểm hai đường thẳng CP AH Gọi F giao điểm thứ hai đường thẳng CP đường tròn O Chứng minh : a ) PF PC PI PO b) E trung điểm đoạn thẳng AH c) Điểm I thuộc đường cố định P di động d Câu (2,0 điểm) 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y 3xy x y x xy 3x b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x 0,5 x yz, x y z xyz Chứng minh : x 1 5 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) x4 x 4 x x 1 x 0 A : x x 1 x x 1 x x 3) Rút gọn biểu thức x4 x 4 x x 1 x 0 A : x x 1 x x 1 x x x 2 x 2 x 2 x1 x x1 x : x 1 : x x 1 x1 x x 1 x1 4) Tính giá tri biểu thức x x 1 B x 1 x1 x1 x 1 x1 x x 1 x x x 15 x x x 1 2 3x 10 x x với x thỏa mãn x 3x x 1 x x 7 x x x 0 x 3x 3 2 x x 15 x x x x x x 20 x x x 12 x x B 3x 10 x x 3x3 12 x 3x x x 3x x x x 1 x x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 x 2 5x 3x 2 Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x 3m x 2m m 0 1 (với x ẩn số) c) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m x 3m x 2m m 0 1 3m 2m m 3 17 x x 16 17 x 2 256 17 x 17 Vậy (1) ln có hai nghiệm phân biệt d) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 3x2 x1 x2 3m x1 3m x2 Theo Vi-et đề ta có: x1 x2 2m m Có x1 3x2 x1 3x2 3m x2 x2 3m x2 3m 9m x1 4 Ta có hệ phương trình : 3m 9m 3m 1 3m 9m m m 4 (nghiệm với m) Vậy với m phương trình (1) ln có nghiệm x1 3x2 Câu (4,0 điểm) x y 3x y 4 5x y x y 1 3x y c) Giải hệ phương trình : 4 x y 3x y 4 a b 4 a 2 x y a, b 0 1 5x y b 3x y a b 5 x y 1 3x y ab Đặt 3a 4b 4ab a 0 b 0(ktm) a ab a b 0 4a 4b 5ab b 1 a 4 2 x y 4 x 3 x y 1 y 11 d) Giải phương trình 2x 2x x 4 x x 4 x x 3 x 3 4 x x 3 x 3 x 4 x x x x 2x x 0 x 0 x x 3 0 x 3 x 3 0 x 4 x 12 2x x 0 5 x 18 0 x 18 6 x x 108 x 18 36 x 25 Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định , ( (O) d khơng có điểm chung) Điểm P di động đường thẳng d , từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A B thuộc đường tròn (O)), PO giao AB I Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm A đến đường kính BC , E giao điểm hai đường thẳng CP AH Gọi F giao điểm thứ hai đường thẳng CP đường tròn O Chứng minh : C A E H F P I O B a ) PF PC PI PO Xét PFI ∽ POC c.g c PFI POC 1 PF PI PF PC PO.PI PO PC c) E trung điểm đoạn thẳng AH Vì AHO AIO 90 90 180 PIOH tứ giác nội tiếp IAH IOH 180 hay IAE POC 180 Mà PFI EFI 180 3 Từ (1), (2), (3) suy IAF EFI IFAE tứ giác nội tiếp AFE AIE Xét (O): AFE ABC (cùng chắn cung AC ) AIE ABC Mà hai góc vị trí đồng vị nên IE / / BC hay IE / / AM Xét ABH có I trung điểm AB, IE//AH nên IE đường trung bình Vậy E trung điểm AH c) Điểm I thuộc đường cố định P di động d Gọi M chân đường vng góc hạ từ O lên đường thẳng d Gọi K giao điểm hai đường thẳng OM , AB Xét OIK & OMP có POM chung , OIK OMP 90 OIK ∽ OMP OK OI OP.OI OK OP OM OM OB OP.OI OB OK OM cố định, K thuộc OM cố định suy điểm K cố định Mặt khác Mà OIK 90 với vị trí M Vậy M di động d I di động đường trịn đường kính OK cố định Câu (2,0 điểm) 2 d) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y 3xy x y x xy 3x 2 x xy y x 0 x y x x 1 2 * Vì x y 0 nên để x, y 1 (ktm) x y 1 * x x 1 1 x x 2 y 2 x y 0 * x x 1 2 x y 1 x; y 2; ; 1;1 Vậy e) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x 0,5 x yz, x y z xyz Chứng minh : x 1 5 x y z xyz x y z x.5x y z 2 yz 2 x 2 x 1 x x y z 2 x x x 0 x x 1 5 1 x Dấu xảy y z x