037 đề hsg toán 9 sơn hòa 21 22

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN : TỐN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 04/01/2022 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN HÒA Câu (4,00 điểm) Cho biểu thức P x  x x 6 x  x 1  x  3 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Câu (4,00 điểm) Giải phương trình x  2015 x  2014 2 2017 x  2016 Câu (4,00 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n n  12n  2022 khơng thể số phương 2023 2024 b) Cho A 1      Chứng minh A chia hết cho 31 Câu (4,00 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH AB  a) Tính AH , BH biết BC 50cm AC b) Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh AH BC.BD.CE c) Giả sử BC 2a độ dài cố định Hỏi tam giác vuông ABC có thêm điều kiện 2 2 để BD  CE đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ BD  CE Câu (4,00 điểm) x10  y10   x  y   x8  y   x  y  a) Với số thực x, y Chứng minh  b) Cho số dương a, b thỏa mãn a 5  b 1 Q  a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức ĐÁP ÁN P Câu (4,00 điểm) Cho biểu thức x  x x 6 x  x 1  x  3 x d) Rút gọn biểu thức P P x  9    x  x   x 0    x   x  x 4; x 9  x  x x 6  x 3     x  x x   x   2x  x   x   x   x 1 x  x      x    x  3  x x   x  2  x 1  x  3 x x 1 x e) Tìm x để P  x 1  1  x P 1   0 x x 1  x  0 x x 3 x 9 Kết hợp với điều kiện, ta có M  x  9, x 4 f) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên P x 1 x  34  1  x x x P     x   U (4)  1; 2; 4  x   16; 25; 49;1 Câu (4,00 điểm) Giải phương trình x  2015 x  2014 2 2017 x  2016 x Điều kiện : 2016 2017 Phương trình cho tương đương với : x  x   2017 x  2016  2017 x  2016  0   x  1    x  0 2017 x  2016     x 1(tmdk )  2017 x  2016  0  Vậy x 1 nghiệm phương trình cho Câu (4,00 điểm) c) Chứng minh với số tự nhiên n n  12n  2022 khơng thể số phương 2 n  12n  2022  Đặt n  2022 k  k     k  n   k  n  2022   k  n  2   k  n   k  n  4  k  n  2    Do mà 20224 12n4  n  12n  20224 , khơng phương 2023 2024 d) Cho A 1      Chứng minh A chia hết cho 31 A 1   22   2023  22024    22  23  24    25  26  27  28  29     22020  22021  22022  22023  22024     22  23  24   25    22  23  24    22020    22  23  24  31   25   2020  31 Câu (4,00 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH A E D C B H AB  d) Tính AH , BH biết BC 50cm AC AB AB AC    k  AB 3k , AC 4k AC 4 2   3k    4k  502  k 100  k 10  AB 30cm, AC 40cm Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có : AB AC  AH BC  30.40  AB.50  AH 24cm AB BH BC  302 BH 50  BH 18cm e) Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh AH BC.BD.CE Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có : AH BH CH  AH BH CH BD AB.CE AC  BD.CE   AB AC   BH CE   AH BC   AH BC.BD.CE f) Giả sử BC 2a độ dài cố định Hỏi tam giác vng ABC có thêm điều 2 kiện để BD  CE đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ BD  CE Áp dụng định lý Pytago ta có : BD  CE BH  HD  HC  HE BH  HC   HD  HE   AB  AH    AC  AH   AH  AB  AC   AH BC  AH 4a  AH 2 2 2 Gọi O trung điểm BC ta có : AH  AO a nên BD  CE 4a  3a a Dấu xảy H O  ABC vuông cân A Vậy Max  BD  CE  a  ABC vuông cân A Câu (4,00 điểm) x10  y10   x  y   x8  y   x  y  c) Với số thực x, y Chứng minh  Ta có : 10 x  y10   x  y   x8  y   x  y   x12  y12  x y  x8  y  x12  y12  x y  x  y   x y  x8  y  x y  x y  0  x y  x  y   x  y  0  x2 y  x2  y  x  x y  y  0 Bất đẳng thức cuối ln Vậy ta có đpcm d) Cho số dương a, b thỏa mãn a 5  b 1 Q  a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 5 a  b 5  Q       a b 5 a b   a b a b   b a Q     2   5 a b  5 a b 1 b a Q      Q      5 a b 5  Qmax   a b 