SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021-2022 Ngày thi : 26/12/2021 MƠN THI: TỐN – THCS Thời gian làm : 150 phút Câu I (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức : x x3 x xy y x x xy y x với x 0, y 0, x 4, x 1 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc 1 Tính P giá trị biểu thức Q a 1 b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 1 b abc 2020 Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình x x 3 x x 19 x x2 x y 6 y x x x 12 y y y2 2) Giải hệ phương trình Câu III (4,0 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên dương a, b thỏa mãn phương trình b 3 b b b b a 2) Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b số nguyên tố ab bc ca 3c Chứng minh 8c 1 số phương Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn O; R đường kính AB C điểm thay đổi nửa đường trịn C khác A B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tia tiếp tuyến Ax By Tiếp tuyến C nửa đường tròn cắt tia Ax, By theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm AE BD, CI cắt AB H 1) Chứng minh CH song song với BE I trung điểm đoạn thẳng CH 2) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB K Chứng minh KA.KB CH CO 3) Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia By F Gọi M giao điểm AF BC Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn O; R cho tam giác ABM có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R Câu V (2,0 điểm) Cho a, b số thực dương Chứng minh : a b ab ab a b 2ab 3 ab a b a b ab ĐÁP ÁN Câu I (4,0 điểm) 3) Rút gọn biểu thức : P x x3 x xy y x x xy y x với x 0, y 0, x 4, x 1 x x3 x xy y x x xy y x P x x y x y x y x y x y x1 x 1 x 1 x 2 x x y y x x y y x x y 4) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc 1 Tính giá trị biểu thức Q a 1 b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 1 b Ta có 1 b 1 c b c bc a abc bc Tương tự ta có : 1 c 1 a b ca ; abc 2020 a bc 1 a 1 b a bc c ab Do Q a abc b abc c abc abc 2020 2021 Câu II (4,0 điểm) x x 3 3) Giải phương trình x x 19 x x 1 3 3 x x 0 x 1 x 0 x 2 ĐKXĐ: x x a 0 3 x x a x x a b 2 x b Đặt x b 0 Ta có : x x 3 x x 19 x x x x x x 19 x x x x x a a b 1 b a b ab b 1 a b (do ab b 1x thoa DKXD ) a b x (ktm) x x x x x 0 x 1(tm) 2 Vậy phương trình có nghiệm x x2 x y 6 y x x x 12 y y y2 4) Giải hệ phương trình ĐKXĐ: y 0 Cộng theo vế phương trình hệ ta có : x 3x 2x2 x2 x2 18 x x x 18 0 2 y y y y y y y y 1 1 1 x x x x 0 x x 0 y y y y y y x 0 3 x x x x 0 x 0 y y y x y 1 x 0 ( Ktm) y x; y 0; ; 2;1 ; 2;1 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm Câu III (4,0 điểm) 3) Tìm tất cặp số nguyên dương a, b thỏa mãn phương trình b 3 b b b b a x x x y xy x y 3 2 Đặt b x, b y Vì Ta có : 3 x y b 3 b b b b xy x y a a 2 x y x y xy 2 x y xy x y a b b a a 3 2 b 2 b 3 a3 a 3a b a b 3a a3 3a a3 a 4a a 1; 2; 4 3 Vì b số nguyên nên Với a 1 b 1 b 3 a 2 Với a 4 b khơng số ngun a, b 1;3 Vậy 4) Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b số nguyên tố ab bc ca 3c Chứng minh 8c số phương 2 2 Ta có ab bc ca 3c ab bc ca c 4c a c b c 4c * a c; b c d Giả sử a c d a b d b c d d 1 Vì a b số nguyên tố nên d a b a c a b x a b a b x y b c a b y x , y Xét d a b Suy tồn cho 2 x y 1 x y , thay vào (*) ta có y y 1 a b 2c y y 1 số phương, mà y y 1 hai số tự nhiên liên tiếp nên y 0 b c 0 4c 0 c 0 Khi 8c 1 số phương a c m a b m n m n m n b c n Xét d 1 tồn m, n cho nguyên tố, mà m n m n m n Kết hợp với * ta có 2c mn n n 1 8c 4n n 1 2n 1 số số phương Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn O; R đường kính AB C điểm thay đổi nửa đường trịn C khác A B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tia tiếp tuyến Ax By Tiếp tuyến C nửa đường tròn cắt tia Ax, By theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm AE BD, CI cắt AB H E C D Q P I F M J A H K O B 4) Chứng minh CH song song với BE I trung điểm đoạn thẳng CH Áp dụng định lý Ta-let ta có : CD DA DI CI / / BE CE BE BI hay CH / / BE CI EI BI HI CI HI Mặt khác DA EA BD DA hay I trung điểm CH 5) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB K Chứng minh KA.KB CH CO Đường tròn J nội tiếp ABC tiếp xúc với AB, BC , CA K , Q, P Ta có AB AC BC AK BK AP CP CQ BQ AK BK AK CQ CQ BK 2 AK AK AB AC BC Tương tự ta có : BK AB BC AC AK BK AB AC BC AB BC AC AB AB.BC AB AC AC AB AC BC AC AB.BC BC AC BC AB AC BC AC BC 2CH AB 2CH 2CO 4CH CO AK BK CH CO 6) Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia By F Gọi M giao điểm AF BC Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn O; R cho tam giác ABM có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R Kẻ MN AB N Dễ dàng chứng minh BHCF hình chữ nhật Đặt BH x MN MN BN AN BN AN AB 2R 2R.CH MN x 2R Ta có CH BF BH AB BH AB BH AB x 2R Áp dụng bđt Cosi, ta có : CH AH BH x R x MN Suy MN 2x 2R x 2 2 x 2R R Diện tích ABM lớn MN lớn (vì AB cố định), hay R Dấu xảy x 2 R x x 2R Điểm C nằm nửa đường tròn (O) 2R 2R 2R 1 R R2 S AMB AB.MN R 2R Khi 2 2 cho Câu V (2,0 điểm) Cho a, b số thực dương Chứng minh : CH a b ab ab a b 2ab 3 ab a b a b ab Ta có : a b ab ab a b 2ab a b ab ab a ab b ab ab a b a b ab ab a b a ab b ab a ab b ab ab a a ab ab b b ab Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có: 2 ab a ab 1 a ab a2 ab a a ab a a b ab a 2b a ab a 2b ab a Áp dụng bất đẳng thức phụ x y z a ab 1 3 a 2b ab a 3 xy yz zx ta có : a ab 1 ab a a ab Tương tự ta có : 2 ab b ab 1 b ab b2 ab b b ab b ab ab ab b ab ab ab b Từ 1 (2) suy a b 1 a b ab ab a b 2ab 3 ab a b a b ab Dấu xảy