PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP TUY HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 18/01/2022 a , b , c Câu (3,0 điểm) Cho ba số dương thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh a )1 a a b a c b) a b c 2 a b c2 1 a 1 b 1 c 2 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh n 2021n chia hết cho với số tự nhiên n 2 b) Cho x, y số nguyên thỏa mãn x y 2 xy y 0; x y 0 Chứng minh y tổng ba số phương x viết dạng tổng bốn số phương Câu (3,0 điểm) Giải phương trình x x x 2 x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi D trung điểm AC , CE CB, AE CB lấy điểm E cho cắt BD F a) Tính diện tích tam giác DEF theo a b) Gọi H hình chiếu D AB Chứng minh DA.HF DF DB Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC có đường cao AD, BE , CF Trên đường cao AD lấy điểm K cho BKC 90 Trên đoạn CF lấy điểm P cho BP BK a) Chứng minh ABP tam giác vuông b) Trên tia đối tia EB lấy điểm Q cho CQ CK Gọi T giao điểm BP CQ Chứng minh PQ AT 2 Câu (3,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn x 1, y 1 x y x y 1 0 a) Chứng minh x y 2 1 b) Tìm giá trị lớn biểu thức P xy x y ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh a )1 a a b a c VT 1 a bc ca ab a c a b a a b a c a b VP(dfcm) b) a b c 2 a b c2 1 a 1 b 1 c 2 Chứng minh tương tự câu a, có : b b c b a , c c a c b a b c a b c 2 1 a 1 b 1 c ( a c)( a b) b c b a c a c b a b c b a c c a b 2ab a b b c c a a b b c c a Có : a 1 b 1 c 1 a b a c b c b a c a c b a b a c b c a b c 2 a 1 b 1 c2 1 a 1 b 1 c 2 Câu (3,0 điểm) c) Chứng minh n 2021n chia hết cho với số tự nhiên n n3 2021n n3 n 2022n n n 1 n 1 2022n co ' n n 1 n 1 6 , 2022n 6 dfcm 2 d) Cho x, y số nguyên thỏa mãn x y 2 xy y 0; x y 0 Chứng minh y tổng ba số phương x viết dạng tổng bốn số phương x 3 y y a b c * x y x y x y (ktm) * 3x 3 a b c a b c 2 a b a c b c Ta có điều phải chứng minh Câu (3,0 điểm) Giải phương trình x x x 2 x x x x 2 x x 1, x x 1 x x2 * x x 0 x x x 0 x x 0(*) x 2 x x x 4 x x x x x x 2(tm) Vậy S 2 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi D trung điểm CE CB, AE AC , CB lấy điểm E cho cắt BD F A H D P N M B C E c) Tính diện tích tam giác DEF theo a a 2a a 21 CD , CE DE CD CE 2.CE.CD.cos 60 10 CN CE 2 a a EN / / BD CN CD CD CB 5 5 Kẻ EN CN tan 60 FD / / EN Kẻ a a a 3a , DN 5 10 FD AD a / a FD EN AN 4a / 8 FM EN MN FD a a a EM EN 8 40 2 3a 19 3a 3a FE FM EM 40 10 40 DF FE DE p S DEF p p DF p FE p DE với 2 d) Gọi H hình chiếu D AB Chứng minh DA.HF DF DB HDF 90 HDA 60 a AH AH AD.cos 60 1 DH AB HAD vuông H AB FD a a FD ; BD 2 BD Từ 1 , HF / / AD HFD 90 Xét DAB & FDH có: BDA HFD 90 , BAD HDF 60 DAB ∽ FDH DA DB DA.HF DB.DF FD FH Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB AC có đường cao AD, BE , CF Trên đường cao AD lấy điểm K cho BKC 90 Trên đoạn CF lấy điểm P cho BP BK Q A E K P F B C D T c) Chứng minh ABP tam giác vuông Xét BKC APB có AB BC , PD BK , KC BP BKC APB c.c.c ABP BKC 90 ABP vuông B d) Trên tia đối tia EB lấy điểm Q cho CQ CK Gọi T giao điểm BP CQ Chứng minh PQ AT Xét ADC có : ADC 90 DAC ACD 90 DAE ACD 90 PAE APE 90 AEP 90 PQ AI 2 Câu (3,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn x 1, y 1 x y x y 1 0 c) Chứng minh x y 2 1 2 Đặt t x y có t x y xy t x y xy x y 2 x y x2 y t2 t2 t 1 0 t 4t 0 t 8 2 t 2 t 2 2 2 1 d) Tìm giá trị lớn biểu thức x y P xy x y x y 1 2 xy xy 1 x y x y P x y 2 P Pmax x y xy 1 x y x y