thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút (không k[.]
thuvienhoclieu.com KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17/4/ 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) a) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên b) Cho ba số thực với để số nguyên cho Chứng minh Câu (4,0 điểm) a) Cho phương trình phân biệt Tìm để phương trình có hai nghiệm có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại b) Giải phương trình Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên lập phương số tự nhiên b) Cho số nguyên tố Chứng minh hai số nguyên dương chia hết cho 12 khơng thể , cho số phương Câu (3,5 điểm) Cho hình vng có cạnh cm là điểm nằm cạnh ( khác ) Đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng tại cắt đường thẳng tại Gọi là giao điểm của và a) Chứng minh tứ giác thẳng hàng b) Khi trung điểm cạnh nội tiếp đường trịn ba điểm , tính diện tích tứ giác Câu (3,5 điểm) Cho hai đường tròn cắt khác ) Đường thẳng khác cắt hai điểm khác ) Tiếp tuyến cắt Tiếp tuyến cắt khác ) Đường thẳng điểm cắt ) a) Chứng minh tam giác đồng dạng thuvienhoclieu.com Trang ( thuvienhoclieu.com b) Chứng minh Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: … ………………………………………… Số báo danh: …………… Thí sinh phép sử dụng máy tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm thi này có 06 trang) Câu Câu (5,0 đ) Đáp án Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A; tìm số nguyên để Điểm số nguyên với 3,0 0,5 0,5 0,5 (vì nên ) 0,5 0,5 Ta có : 0 m>1 2,0 0,25 Ta có : 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 - chọn Cách 2: Điều kiện : ’ >0 2m2 >0 m >1 0,25 Ta có : Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 0,5 0,5 0,25 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + 0, + ( thỏa mãn ) Cách : Điều kiện : ’ >0 2m2 >0 m>1 0,25 Phương trình có nghiệm 0,25 Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 0,25 ( khơng xảy trường hợp ngược lại 0,25 (!) ) 0,5 0, - Chọn b) Giải phương trình Cách 1: Điều kiện : 0,25 (1) Đặt 2,0 (1) = 3x (2) 0,25 ( a,b 0) (2) viết lại: 0,5 ( 2+b>0 ) 0,25 x = ( Cơ si – bình phương ) x = thỏa điều kiện x = nghiệm phương trình cho Cách 2: Điều kiện : 0, 25 0, 25 0,25 0,5 0,5 0,25 (*) Kết luận: x=0 nghiệm thuvienhoclieu.com 0, Trang thuvienhoclieu.com Câu a) Chứng minh với số tự nhiên n (n+2)(n+1)(n+8) khơng thể 2,0 (4,0 đ) lập phương số tự nhiên Ta có: (n+2)3< (n+2)(n+1)(n+8) < (n+4)3 (*) n3+ 6n2+12n+8 < (n2+3n+2) (n+8) = n3+ 11n2 + 26n +16 < n3+ 12n2+48n+64 0,5 ( với n 1) Giả sử có nN, n cho (n+2)(n+1)(n+8) lập phương số tự 0,25 nhiên Từ (*) suy ra: (n+2)(n+1)(n+8) =( n+3) 0,5 3 n + 11n +26n+16 = n + 9n +27n+27 0,5 2n n 11 =0 (!) Vậy n 1, n N (n+2)(n+1)(n+8) khơng lập phương số tự 0,25 nhiên b) Cho số nguyên tố trình phương hai số nguyên dương a, b thỏa mãn phương Chứng minh a chia hết cho 12 2,0 số 0,25 Ta có: 2 Các ước p 1, p p Không xảy trường hợp b + a = b ‒ a = p Do xảy trường hợp b + a = p2 b ‒ a = 0,5 Khi suy 2a = (p ‒1)(p + 1) Từ p lẻ suy p + 1, p ‒1 hai số chẵn liên tiếp (p ‒1)(p + 1) chia hết cho Suy 2a chia hết cho (1) Vì p số nguyên tố lớn nên p khơng chia hết cho Do p có dạng 3k+1 3k+2 Suy hai số p + 1; p ‒1 chia hết cho Suy 2a chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy 2a chia hết cho 24 hay a chia hết cho 12 (đpcm) Xét Câu Cho hình vuông cạnh cm là điểm nằm cạnh (3,5 đ) khác ) Một đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng cắt đường thẳng tại Gọi là giao điểm của và thuvienhoclieu.com 0,5 0,25 số phương a)Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm hàng 0,5 ( tại thẳng Trang 2,5 thuvienhoclieu.com A B K H E D C F (Không có hình vẽ không chấm bài) + Hai tam giác BKA BKC 0,5 + Lại có A, B, H, D nằm đường tròn nên Suy Do tứ giác KDCE nội tiếp đường trịn + Trong tam giác BDF có BC DH hai đường cao Suy Tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn nên (2) Từ (1) (2) suy K, E, F thẳng hàng b) Khi trung điểm cạnh , tính diện tích tứ giác 0, 0,5 (1) 0,2 hay 0,25 0,25 1,0 Ta có BKE vng cân, BK= KE = 0,25 SBKE = 0.25 Xét BHE ta có BH = BE sinE = sinE = HE2 =BE2 BH2 = HE = 0.25 SBHE = SBKEH = SBKE +SBHE = 0.25 (cm2) Câu Cho hai đường tròn (C1 ),(C2 ) cắt hai điểm A,B Tiếp tuyến A (C ) (3,5 đ) cắt (C1 ) M (M A) Tiếp tuyến A (C ) cắt (C2 ) điểm N (N A) Tia MB cắt (C2 ) P ( P B) Tia NB cắt (C1 ) Q ( Q B) a/ Chứng minh tam giác AMP ANQ đồng dạng 0,75 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com (Không có hình vẽ không chấm bài) Tứ giác ABNP nội tiếp 0,25 Tứ giác ABMQ nội tiếp Suy ra: ANQ đồng dạng APM 0,25 b/ Chứng minh: (1) AM tiếp tuyến , MBP cát tuyến (C2) –chứng minh MA2 = MB.MP 2,75 0,5 Tương tự AN tiếp tuyến , NBQ cát tuyến (C1), ta có: NA = NB.NQ 0,25 0,25 0,25 (2) Từ (2), để có (1), ta chứng minh MP =NQ Để chứng minh MP =NQ ta chứng minh AMP = AQN ( AMP AQN đồng dạng , cần chứng minh A N = AP hay + Ta có + Ta có ) 0,25 ( chắn cung AB (C2)) ( chắn cung NB (C2) ) 0,25 ( chắn cung AB (C1)) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + Suy + Mặt khác Suy ra: 0,25 ( Góc ngồi tổng góc khơng kề nó) ( chắn cung AP (C2)) 0,25 0,25 Ta có: ANP cân N AN= AP Tam giác AMP AQN đồng dạng kết hợp AN= AP AMP = AQN MP=NQ (2) Từ (1) (2) hay 0,25 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác thầy giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm thuvienhoclieu.com Trang ... tính cầm tay SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm thi này có 06 trang) Câu Câu (5,0 đ) Đáp... Vì a,b,c có vai trị Khi đó: (ba)(bc) ≤ 2,0 (1) nên giả sử ≥ a ≥b ≥ c ≥ thuvienhoclieu. com Trang 0,25 thuvienhoclieu. com b2 +ac ≤ ab+bc (*) 0,25 ( chia vế (*) cho bc) 0,25 ( chia vế (*)... Ta có : Để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại 0,5 0,5 0,25 thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com + 0, + ( thỏa mãn ) Cách : Điều kiện : ’ >0 2m2 >0 m>1 0,25 Phương