SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) a 1 a a a a a a Cho biểu thức: M với a > 0, a a a a aa a a) Chứng minh M b) Với giá trị a biểu thức N nhận giá trị nguyên? M Bài (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y 6 x y mx có đồ thị đường thẳng (d 1), (d2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ M tung độ 1 N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q OM ON Bài (2,0 điểm) 17x 2y 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x 2y 3xy b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x y z z x (y 3) Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn ( C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN không đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TOÁN LỚP BÀIÝ ĐIỂ M ĐỀ -ĐÁP ÁN a 1 a a a a a a với a > 0, a a a a aa a a) Chứng minh M b) Với giá trị a biểu thức N nhận giá trị nguyên M Cho biểu thức: M Bài Do a > 0, a nên: 1.a (1,25 đ) a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a aa a a (1 a) a (1 a) a a 1 2 M a Do a 0; a 1 nên: ( a 1) a 1 a a 4 a Ta có N N nhận giá trị nguyên M a 1 a a 0 ( a 2)2 3 Mà N = a 1 a a 2 hay a 2 (phù hợp) M 1.b (0,75 đ) Vậy, N nguyên a (2 3) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y 6 x y mx có đồ thị đường thẳng (d 1), (d2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? Bài b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q 2.a 1 OM ON Điều kiện để (m) đồ thị hàm số bậc m 0 2,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 0,25 (0,75 đ) Phương trình hoành độ giao điểm (d1) (m) là: 0, 5x mx (m 0,5)x 3 Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m 0, hay m 0,5 Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (m) là: x mx (m 1)x 6 Điều kiên để phương trình có nghiệm dương m 1 hay m Vậy điều kiện cần tìm là: m 0, 5; m 0 Đặt m = xM n = yN mn m (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0 am b 2 a b hệ thức liên hệ m n 2m n mn n b 2.b (1,25 đ) Chia hai vế cho mn ta được: 1 m n 0,25 0,25 0,25 0,25 (**) 2 4 1 2 5 m n mn n m n m n m 1 Q ; dấu “=” xảy ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 m n m n 0,25 (thỏa (*)) 0,25 Vậy giá trị nhỏ Q 0,25 17x 2y 2011 xy x 2y 3xy a) Giải hệ phương trình: Bài (1) b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x y z z x (y 3) (2) 17 y x 2011 Nếu xy (1) 3 y x 3.a (1,25 đ) 2,0 đ 1007 y x 490 (phù hợp) 490 y x 1007 17 y x 2011 Nếu xy (1) 3 y x 1004 y xy (loại) 1031 x 18 Nếu xy 0 (1) x y 0 (nhận) ; KL: Hệ có nghiệm (0;0) 490 1007 3.b (0,75 đ) Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ y ≥ z ≥ x ≥ (2) x y z z x x y z z x ( x 1) ( y z 1) ( z x 1) 0 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x 1 x 1 y z 1 y 3 (thỏa điều kiện) z 2 z x 1 Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với F điểm A B Lấy C điểm đối xứng M O qua A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) B C A O điểm thứ hai E Các đường thẳng BM Bài CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F (C ) E thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN không đổi N c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn MN BF BC NF 4.a A trực tâm tam giác BNF (1,00 FA NB đ) Lại có AE NB Nên A, E, F thẳng hàng , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng CAN MAB 4.b AN AC (0,75 Suy ra: AB AM đ) Hay AM AN AB AC 2R không đổi (với R bán kính đường trịn (C )) 0,25 3,0 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có BA BC nên A tâm tam giác BNF C trung điểm NF (3) Mặt khác: 4.c (1,25 đ) 0,25 , nên hai tam giác CNA CBF đồng dạng CAN CFM CN AC CN CF BC AC 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R không đổi Nên: NF ngắn CN =CF C trung điểm NF (4) (3) (4) cho ta: A tâm tam giác BNF NF ngắn Bài Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương (1,00 Đặt: S = 123456789101112 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,50 đ) S 3467891112 100 (1) số nguyên hai chữ số tận S 00 Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải (1), để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy S có chữ số tận (vì 100 34=12; 26=12; 27=14; 48=32; 29=18; 811=88; 812=96) 0,25 Vậy ba chữ số tận S 600 0,25