055 đề hsg toán 9 huyện 2009 2010

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KÌ THI HỌC SINH GIỎI Môn: TOÁN NĂM 2009-2010  Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức:  a 1 P    a1  a) Rút gọn P  a1   a   a   a 1 a   b) Tính giá trị của P tại a   Câu (1.5 điểm).Giải phương trình:   3 x x 1 2 x  1 Câu (2.5 điểm) Cho x, y là các số dương x y a) Chứng minh:  2 y x x y xy b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M    y x x  y2 Câu (3.0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M khơng trùng với A và B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân  giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F, E, K, M cùng nằm một đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí của M nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R? Câu (1.0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:  x  1  2x    x  3  x    y 11879 - Hết - *Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu PHÒNG GD&ĐT KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: TOÁN ĐÁP ÁN, CÂU NỘI DUNG a 0  Điều kiện  a 1    a 0  P   a 1  ĐIỂM a   a 1  0.25 a   a  a  1 a  a a a a  a  a  1 a (1  a  1)   4a a a Vậy P 4a          1      1      1       0.25 0.25 0.25 a b   0.25       0.25 0.25 0.25 Vậy a  đó P 4a 4 Điều kiện x 1 x x 1  x 1  x  1   0.25  x 1  x  1 x  1 (1) 0.5 Khi x  1  x  1  x 2 : Ta có (1)  x    x  1 Phương trình vô nghiệm 0.25 Khi  x    x    x  : Ta có  1  (1)   x   x  1   x  0  x 1 0.25 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho a x y Vì x > 0, y > nên  và  y x Áp dụng bất đẳng thức a  b 2 ab dấu "=" xảy  a b ta có x y x y  2 2 y x y x 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy x y  2 y x 0.25 x y   x  y  x  y (vì x > 0, y > 0) y x x y 3a a Đặt a   , ta có M a     y x a 4 a x y 3a  ; Vì a   2 nên y x b Ta có a  2 a 2 1 a a 3a a 5 Do đó M a        ; M   a 2  x  y a 4 a 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng và chỉ x  y Hình vẽ x Dấu "=" xảy  0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 I F M H E K A O B Ta có M, E nằm nửa đường tròn đường kính AB nên   a FMK 900 và FEK 900 Vậy điểm F, E, K, M cùng nằm đường tròn đường kính FK Ta có HAK cân tại A nên AH = AK (1) K là trực tâm của AFB nên ta có FK  AB suy FK // AH (2)     Do đó FAH (gt) AFK FAK  AFK mà FAH FAK b Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK  IB suy HF  IB c Chu vi của AMB CAMB MA  MB  AB lớn nhất chỉ MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi) 2 Áp dụng bất đẳng thức  a  b  2  a  b  dấu "=" xảy 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25  a b , ta có  MA  MB  2( MA2  MB ) 2 AB 0.25 Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB và chỉ MA = MB hay M nằm giữa cung AB 0.25 Vậy M nằm giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất Khi đó CAMB MA  MB  AB  AB  AB (1  2) AB 2 R (1  2) x x x x Đặt A   1      3    , ta có x A là tích của số tự nhiên liên tiếp nên x A chia hết cho Nhưng x không chia hết cho 5, đó A chia hết cho x x x x y Nếu y 1, ta có   1      3     chia hết cho mà 11879 không chia hết y 1 không thỏa mãn, suy y = x x x x 0.25 0.25 0.25 y Khi đó , ta có   1      3     11879   x  1  x    x  3  x    11879   x  1  x    x  3  x   11880 0.25   x  1  x    x  3  x   9.10.11.12  x 3 Vậy x 3; y 0 là hai giá trị cần tìm 0.25