086 đề hsg toán 9 hòa bình 2010 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỊA BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010-2011 Đề thi mơn: TỐN Ngày thi: 22 tháng năm 2011 Thời gian làm : 150 phút Bài (4đ) Phân tích thành nhân tử biểu thức sau a) A x  3x y  4xy2  12y3 b) B x  4y  2xy  x  8y3 Cho a  11   11  Chứng minh a số nguyên Bài (6đ) Giải phương trình 12  1 x x 4 x x 2 2 Cho hàm số y  m  1 x  m  (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm A, B cho tam giác OAB cân Tìm x để biểu thức A  x1 đạt giá trị lớn x 1 Bài (4đ) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O, có bán kính  Biết BAC 600 , đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC Đội cờ vua trường A thi đấu với đội cờ vua trường B, đấu thủ trường thi đấu với đấu thủ trường trận Biết tổng số trận đấu lần tổng số cầu thủ hai đội số cầu thủ trường B số lẻ Tìm số cầu thủ đội Bài (5đ) Cho nửa đường trịn tâm O bán kính R, đường kính AB Hai điểm E, F thay đổi nửa đường tròn cho số đo cun AE khác nhỏ số đo cun AF, biết EF=R Giả sử AF cắt BE H, AE cắt BF I Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp đường tròn Gọi EG FQ đường cao tam giác IEF, chứng minh độ dài QG không đổi Chứng minh QG song song với AB Bài (1 điểm) Giải phương trình : x   x 2 x    x  8x   ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI HỊA BÌNH NĂM 2010-2011 Bài 1 a) A  x  3y   x  2y   x  2y  B  x  2y  1  x  2xy  4y2  2 a  11   11       3 2 6 Bài Học sinh lập luận x  x  x  x  khác quy đồng đưa 2 phương trình dạng 9(x  x)  12  x  x    x  x   Biến đổi dạng  x  x    x  x  1 0  x    17 2 Lập luận để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tọa độ tai điểm A B cho tam giác OAB cân đồ thị hàm số cho song song với đường thẳng y = x (hoặc y = - x )  m  1 Từ dẫn đến   m  0 m    m  0 dược m=2 m=0 thỏa mãn x 1 x  1   1   x 1 Ta viết A=  Ta có Vậy Min A= - x=0 Bài Giải hệ hai phương trình ta tìm A O B K C  Gọi K trung điểm BC, dễ có KOC 60 Xét tam giác vng OKC có OC = Tính KC OC.sin 600  Tính BC 2 , suy diện tích tam giác ABC S 3 Gọi số cầu thủ đội trường A x, số cầu thủ đội trườn B y Ta có phương trình xy 4  x  y   (x  4)(y  4) 16 Ta lập luận tìm x=20; y=5 Bài I G F Q E H A O B   Vì IEH IFH 900 nên IHEF nội tiếp đường tròn Ta dễ dàng chứng minh IQG đồng dạng với IFE (góc – góc) QG IG 1   ;QG  EF  R (dpcm) EF IE 2 Chứng minh IAB đồng dạng IEF (g.g) kết hợp với câu ta có Từ có IQG IAB suy IQ IG  dẫn đến QG song song với AB IA IB Bài Học sinh tìm ĐK x 7 biến đổi phương trình dạng tích   x 1 x 1 x=4 thỏa mãn   x 0 Học sinh giải phương trình tích tìm x=5