SỞ GD & ĐT HỒ BÌNH Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2013 – 2014 TRƯỜNG THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ ĐỀ THI MƠN TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 29 tháng năm 2013 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang Bài (2 điểm) 1) Cho x số thực âm thỏa mãn x2 + A = x3 + = 23, tính giá trị biểu thức x2 x3 2) Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: x4 – 2y4 – x2y2 + x2 + y2 Bài ( điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông A, ABC = 600 Trung tuyến CD = cm Tính diện tích tam giác ABC 2) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y = (m + 1)x – m, m tham số Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt A, B cho OA vng góc với OB Bài (2 điểm) 1) Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (1 - 1 ) )(1 y2 x 2) Tìm nghiệm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2x2 – 2xy = 5x – y – 19 Bài ( điểm) Cho đường trịn (O), bán kính R, A điểm cố định nằm ngồi đường trịn Một đường trịn thay đổi qua điểm O, A cắt đường tròn (O) hai điểm P, Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định (trước chứng minh nêu dự đoán điểm cố dịnh mà P, Q qua, giải thích cách nghĩ) Bài ( điểm) Có thể lát kín sân hình vng cạnh 3,5m viên gạch hình chữ nhật kích thước 25cm x 100cm mà khơng cắt gạch hay không? Hết Lời giải tóm tắt Bài 1 ) – 3(x + ) x x 1 Từ giả thiết ta có: x2 + +2 = 25 (x + )2 = 52 => x + = -5 x < x x x 1) Ta có A = (x + Do A = (-5)3 – 3.(-5) = - 110 2) x4 – 2y4 – x2y2 + x2 + y2 = (x4 – y4) – (y4 + x2y2) + (x2 + y2) = (x2 + y2)(x2 - y2 – y2 + 1) = (x2 + y2)(x2 - 2y2 + 1) Bài 1) A Đặt BC = 2x (x > 0) Vì ABC = 600 = 300 => AB = x => AD = => C \ D B \ 600 x; AC = x Tam giác ADC vuông A => CD2 = AD2 + AC2 ( Đ/l Pi tago) cm C => Vậy diện tích S tam giác ABC S = = 3x2 + x2 => x = 16 13 AB AC 3 (cm2) 2 13 13 104 2) Phương trình hồnh độ hai đồ thị x2 – (m + 1)x +m = (*) Hai đồ thị cắt điểm phân biệt A B PT (*) có nghiệm phân biệt > (m + 1)2 – 4m > (m – 1)2 > m 1 Xét PT hồnh độ, có a + b + c = – m – + m = => x1 = ; x2 = m => y1 = ; y2 = m2 => A( 1;1); B(m ; m2) Phương trình đường thẳng qua O A y = x Phương trình đường thẳng qua O B y = mx Đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng OB m = -1 m = -1 Vậy với m = -1 đường thẳng parabol cắt điểm phân biệt A B cho OA vng góc với OB Bài 1) ĐK: xy 0 ; Từ giả thiết => x y 1 xy ( x 1)( y 1) x y ( x y ) x y xy x y xy Ta có P = =1 + xy x y2 x2 y2 x2y2 x2y2 Mặt khác ta có (x – y)2 => x2 + y2 2xy (x + y)2 4xy 4xy 1 => xy xy 2 xy 8 => P + = Dấu “=” xảy x = y = Thỏa ĐK 2 x x 19 x (2 x 1) 2(2 x 1) 17 17 x 2) Từ PT ta có y = (x 2x 2x 2x 1 x= không nguyên) 17 => với x nguyên y nguyên nguyên 17 2x – 2x 2x 1 ước 17 Mà 17 có ước 1; 17 Do x nguyên dương nên 2x – => 2x – = 2x – = 17 => x = Vậy minP = x = y = x = => y = 16 y = Vậy PT có nghiệm nguyên là: (x; y) = ( 1; 16) ; (9; 8) Bài M O' P K O I H Q A *) Dự đoán điểm cố định giao điểm I OA PQ *) Chứng minh: G/s (O’) qua O A => O’ nằm đường trung trực AO, gọi giao điểm đường trung trực với AO H, giao điểm OA với PQ I, giao OO’ với PQ K, OO’ cắt đường trịn (O’) M Ta có OO’ đường trung trực PQ => OO’ PQ OKI đồng dạng với OHO’ (g.g) (Do OO’ = 2.OH) OM AO = Ta có OPM = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => OPM vng P, lại có PQ OO’ => OP2 = OK.OM (Hệ thức lượng tam giác vuông) OP R OI = không đổi OA OA Do O cố định, OI không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng PQ qua điểm cố định Bài Không thể lát sân mà khơng phải cắt gạch gọi số gạch lát theo chiều dài chiều rộng viên gạch x, y hệ PT sau phải có nghiệm nguyên: 100 x 350 hệ vô nghiệm nguyên 25 y 350