080 đề hsg toán 9 đồng nai 2013 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Mơn : Tốn Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 04/4/2014 Câu (4 điểm) Tìm số thực x thỏa x  2x  x  2x  0 Câu (4 điểm) x  2y 1 Giải hệ phương trình:   y  2x  Câu (4 điểm)     m  n  Cho m n hai số nguyên dương lẻ thỏa   n  m  1) Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ  m;n  thỏa điều kiện cho với m  n  2 2) Chứng minh  m  n   4mn Câu (4 điểm) 1) Tính số ước dương số 1000 2) Tính số ước dương chẵn số 1000 Câu (4 điểm)  ABC, BCA  Cho tam giác ABC có ba góc CAB, góc nhọn Gọi (O) đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với hai cạnh AB, AC D, E Gọi M giao điểm hai đường thẳng OB DE, gọi N giao điểm hai đường thẳng OC DE Chứng minh bốn điểm B, C, M, N thuộc đường tròn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG NAI 2013-2014 Câu Chia vế cho x ta được: x  2x  x  2x  0  x  1    x    0 x x  1 1     x     x    0 x x       x    2 x    x   x (1) x    (2) x Giải (1) ta x  1 2 21 x    2 21 (3) Giải (2) vơ nghiệm Vậy có hai giá trị x (3) thỏa toán Câu x  2y 1  x3  y3  2x  2y 0   y  2x    x  y   x  y  xy   0  y  x (1) x  y  xy  0 (2) Với y = - x Khi x  2x  0   x  1  x  x  1 0  x  x  x  0(3) Khi x =  y 1 1 Giải (3) ta x  1 Với x   y 1 x   1 1  1  y 2 Với x  y  3y  (2)   x     0 (vô nghiệm) 2  Hệ cho có nghiệm Câu 3.1 Với m = 11 n = 41 thỏa điều kiện tốn Vì m  12341 n  168311 2 3.2 Vì m  2n mà n n nên  m  n   n (1) 2 Tương tự  m  n   m (2) Gọi d ước chung lớn m n  m  n d 2 2 Theo chứng minh  m  n   m   m  n   d  d  d 1(3) ; d lớn d = mâu thuẫn với m n lẻ 2 Từ (1), (2) , (3) suy  m  n   mn Cuối m lẻ nên m 2k  (với k  )  m 4k(k  1)  Tương tự n 4l(l  1)  (với l   ) 2 Suy  m  n   4 Từ có điều phải chứng minh Câu 4.1 Ta có 1000 23.53 Gọi k ước dương 1000 Suy k 2 n.5m với n, m   thỏa n 3 m 3 Vậy số ước dương 1000 4.4=16 4.2 Gọi k ước dương chẵn 1000 Suy k 2 n.5m với n, m  thỏa n 3 m 3 Vậy số ước dương chẵn 1000 3.4=12 Câu A D B N E M O C 1   AED 900  BAC Theo giả thiết AD = AE  ADE cân A  CEM 1    OBC  OCB 900  BAC Mà COM   Vậy CEM COM  COEM tứ giác nội tiếp Theo giả thiết OE  AC từ BM  CM Tương tự CN  BN  BCMN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC