085 đề hsg toán 9 an giang 2013 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS Năm học 2013-2014 Mơn: TỐN Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 15/3/2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (3đ) Tính T 1  2  3  4   99  100 2 Bài (4đ) Cho đa thức P(x) x  x;g(x)  x   (x  1)x a) Hãy phân tích đa thức P(x) – g(x) thành tích nhân tử b) Chứng tỏ x số ngun P(x) ln chia hết cho Bài (4,0 đ) Cho x1 ;x   0;1 a) Chứng minh   x1  4x12 b) Chứng minh :   x1  x  4  x12  x 22  Bài 4(4,0 đ)  5x  3y    Cho hệ phương trình    x  5y     a) Giải hệ phương trình b) Tìm phương trình bậc hai ẩn x; y nhận nghiệm nghiệm hệ phương trình cho nghiệm (0;0) Bài (5,0 đ) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm M đường tròn  cho BAM 300 Tiếp tuyến với đường tròn điểm A điểm M cắt C CM cắt AB D a) Chứng minh BM song song với OC b) Tính diện tích tam giác ACD ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI AN GIANG NĂM 2013-2014 Bài T  1 Ta có : T   1   2 3 n     1    n  n 1  n n  n 1 2  2 2 3 1   4 99  100 3  n  n 1   3  4          99  100  99  100   100  11 Bài 2a    P(x)  g(x) x  x   x    x  1 x x  x   x  5x   x x  x   x  5x  4x  5x  5x 5x  x  1 5x(x  1)(x  1) P(x) x  x;g(x)  x  x  x 5 5 3 Vậy P(x) 5x(x  1)(x  1) 2b Theo P(x)  g(x) 5x(x  1)(x  1) chia hết cho với số nguyên x 2 Mặt khác g(x)  x    x  1 x  x    x  1 x  x  1  x   nên g(x) tích số nguyên liên tiếp  g(x) chia hết cho Vậy P(x) g(x)  5x(x  1) chia hết cho Câu 3a Xét 4x12    x1   2x1   x1   2x1   x1   x1  1  3x1  1 Do x1   0;1   x1  1 0;  3x1  1  Vậy 4x12    x1   x1  1  3x1  1 0 Hay   x1  4x12 dấu xảy x1 1 3b   x1  x  4  x12  x 22  Do Ta x1 ,x   0;1  x12 x1 ;x 22 x x12  x 22 x1  x Xét   x1  x  2   x12  x 22    x1  x    x1  x  1   x1  x    x1  x    x1  x  2 1   x1  x    x1  x    x1  x  0 Vậy   x1  x  4  x12  x 22  x12 x1   x1 0;x 1 x1 1;x 0 Dấu “=” xảy x x 1  x  x 0  Câu 4a  5x  3y       x  5y   5x  15y 5  15     x  15y  15  3 5x  15y 5  15  (5   3)x 5  3 5x  15y 5  15   53 x  2      x 1   5(1  3)  15y 5  15 x 1    y   4b Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax  by c Phương trình có nghiệm (0;0) suy c = Phương trình có nghiệm   3;     a     b     0 Ta có nhiều phương trình nên chọn a 1  5;b 1  phương trình thỏa đề là:    x     y 0 Câu C M A O B D 5a  Theo đề ta có BAM 300 , tam giác AMB vng M (do góc nội tiếp chắn  nửa đường tròn )  MBO 600 (*)  Tam giác MOB cân có B 600 nên tam giác MOB  AOM 1200 CA, CM hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm C nên CO đường phân giác    góc ACM , hay CO phân giác góc AOM  COA 600 (**) Từ (*) (**) suy BM song song OC ( góc đồng vị) 5b Nhận xét: Ba tam giác OAC, OMC OMB ba tam giác vng có cạnh góc vuong góc nhọn S ACD 3S ACO Tam giác ACO vng có cạnh góc vng OA = cm ;  AOC 600  AC OA tan 600 2 1  S ACO  AO.AC  2.2 2 2 Vậy diện tích tam giác ACD S ACD 6 (cm )