051 đề hsg toán 9 vĩnh bảo 2013 2014

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ CHÍNH THỨC  P    ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút khơng kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x y x y  x  y  2xy    :    xy   xy  xy   a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x  2 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y  x  y  x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) b) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vng Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x  5x  38x  5x  0 Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1   AM AI a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O / ) Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E  ( O ) F  ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN  AD c) ME.MA = MF.MD Hết UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MƠN: TỐN LỚP Bài Đáp án ĐKXĐ: x 0; y 0; xy 1 a) Mẫu thức chung – xy ( x  y)(1  xy)  ( x  y)(1  xy)  xy  x  y  2xy P :  xy  xy   b) x yy x  xy  x  y  xy 0,5 đ 0,5 đ 2( x  y x) x (1  y) x   (1  x)(1  y) (1  x)(1  y)  x 0,5 đ 2(2  3)  3   (  1) 4 2 0,5 đ x  (  1)     0,5 đ 2(  1) 3 P    (  1)    0,5 đ P a) x x y  y y x  x  x y   xy Điểm 0,5 đ 2(  1)   13 5 0,5 đ   x 0  y  Đồ thị y  x  có :  2  y 0  x 3  x x 0 Đồ thị y  x   x x 0 Đồ thị hình vẽ: 0,5 đ 0,5 đ y N (L) (D) 3/2 -3 O 1đ M x b) Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) Ta có: OM = 12  12   OM2 = ON = 32  ( 3) 3  ON2 = 18 0,5 đ MN = (1  3)  (1  3)  20  MN = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x2 ta được: 6x  5x  38   0 x x 1  6(x  )  5(x  )  38 0 x x 1 Đặt y x  thì: x  y  x x Ta pt: 6y – 5y – 50 = (3y – 10)(2y + 5) = 10 Do đó: y  y  10 10 * Với y  thì: x    3x  10x  0 x  x  (3x – 1)(x – 3) =    x 3 5 * Với y  thì: x    2x  5x  0 x  x   (2x + 1)(x + 3) =   x  A 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ B M J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD J Ta có  AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1   (1) AD AJ AI2 Xét hai tam giác vuông ADJ ABM, ta có: 0,5 đ 0,5 đ   AB = AD = a; DAJ (góc có cạnh tương ứng vng góc) BAM  ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM 1 1    Thay vào (1) ta được: (đpcm) AD AM AI a 0,5 đ 0,5 đ M E I F A O H B C D O/ N a) b) c)   Ta có AEB CFD 900 (góc nội tiếp chắn đường trịn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE  EF OF  EF => OE // O/F  / D (góc đồng vị) => EAO  /   => EOB FO FCO 0,5 đ Do MA // FN, mà EB  MA => EB  FN  Hay ENF 900  N  F 90O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E 0,5 đ Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD   Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN INF    FDC  sđ FC Mặt khác, đường tròn (O/): IFN   => FDC HNC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g)   => NHC DFC 90O hay MN  AD   Do MENF hình chữ nhật, nên MFE FEN    EAB  sđ EB Trong đường trịn (O) có: FEN   => MFE EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ => ME MF  , hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ