UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021-2022 MƠN THI: TỐN Ngày thi : 05/4/2022 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) x 4 x 5 A : 1 x x x Cho biểu thức (với x 0, x 4) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 3) Tìm x cho Câu (6,0 điểm) 0 x 1 A 1) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số y m 1 x 2 mx y 2 2) Cho hệ phương trình 2 x my 5 (với m tham số) Tìm m để hệ phương trình cho x y x; y có nghiệm thỏa mãn 3) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết BC=13cm AH=6cm Tính độ dài đoạn thẳng HB HC Câu (4,0 điểm) Hưởng ứng tháng Thanh niên, nhà trường dự kiến tổ chức cho học sinh lớp 9A đủ điều kiện kết nạp Đoàn đợt 26/3 buổi lao động cộng sản trồng 18 xanh Đến ngày lao động, có bạn bị nhiễm Covid 19 nên không tham gia trồng được, bạn cịn lại phải trồng thêm đảm bảo kế hoạch đặt (số học sinh trồng nhau) Hỏi thực tế có học sinh tham gia trồng ? Tìm cặp số nguyên Câu (4,0 điểm) x; y thỏa mãn x x x 1 4 y O, R Từ điểm M nằm đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Cho đường tròn MA, MB đến (O) ( A, B tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn (O) E (E khác A) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) F (F khác E) Đường thẳng AF cắt MO N Gọi H giao điểm MO AB Chứng minh MN NA.NF Chứng minh HFN 90 MN NH HB EF 1 Chứng minh HF MF Câu (2,0 điểm) x x x 1 x2 x 1) Giải phương trình 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2b 3c 11 Chứng minh a bc 37 a 2b 4c ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) x 4 x 5 A : 1 x x x Cho biểu thức (với x 0, x 4) 4) Rút gọn biểu thức A x 4 x 5 A : x x x x 4 x 2 x x 2 x 6 x : x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x x 3 2 x 5) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A 2 x 6) Tìm x cho x U (2) 1; 2 x 1;9;0;16 0 x 1 A 1 0 0 x 1 A x 1 2 x x x x 0 1 x x 1 2 x x Câu (6,0 điểm) y m 1 x 4) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số Gọi A,B giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành, trục tung A ;0 ; B 0; OA ; OB 2; AB 4 1 m (1 m) 1 m Áp dụng hệ thức lượng ta có : A ;0 ; B 0; OA ; OB 2; AB 4 1 m (1 m) 1 m 2 (1 m) 1 m 1 m 1 1 m 1 Dat t t 5t t 5t 4t 1 t 0 1 m 1 m m 2 m mx y 2 5) Cho hệ phương trình 2 x my 5 (với m tham số) Tìm m để hệ phương trình x y x; y cho có nghiệm thỏa mãn Ta giải hệ mx y 2 x my 5 m x 2m 10 m x 2my 2m mx x my 10 y 2m 10 x m y 5m m2 2m 10 5m x y m2 4m 10m 12 5m 20 m2 10m 0 m 5 17 6) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết BC=13cm AH=6cm Tính độ dài đoạn thẳng HB HC A 6cm B C H 13cm Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng vầ tổng hai cạnh ta có hệ : BH BH HC 36 CH BH HC 13 BH CH 9 4 4 9 Câu (4,0 điểm) Hưởng ứng tháng Thanh niên, nhà trường dự kiến tổ chức cho học sinh lớp 9A đủ điều kiện kết nạp Đoàn đợt 26/3 buổi lao động cộng sản trồng 18 xanh Đến ngày lao động, có bạn bị nhiễm Covid 19 nên khơng tham gia trồng được, bạn lại phải trồng thêm đảm bảo kế hoạch đặt (số học sinh trồng nhau) Hỏi thực tế có học sinh tham gia trồng ? Gọi x số học sinh trồng x * 18 Nên số bạn trồng x 18 1 Vì có bạn nghỉ Covid-19 nên số bạn phải trồng x Lúc ta có phương trình x 9(tm) 18 x 3 1 18 x 3x 54 0 x x 6(ktm) Vậy thực tế số bạn tham gia trồng 6 (bạn) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x x 1 4 y x x x 1 4 y x 1 x 1 4 y Do x, y x, y 0 x 0 y 0 0;0 nghiệm phương trình cho Nếu Nếu x y x chẵn, đặt x 2k 1, k 0 Khi Do 2k 2k số lẻ , suy k 0 x y 1 k 1 2k 2k 4 y 1;1 nghiệm phương trình cho x; y 0; 1;1 Vậy , phương trình cho có nghiệm Suy Câu (4,0 điểm) O, R Từ điểm M nằm ngồi đường trịn, kẻ hai tiếp tuyến Cho đường tròn MA, MB đến (O) ( A, B tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn (O) E (E khác A) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) F (F khác E) Đường thẳng AF cắt MO N Gọi H giao điểm MO AB E A F O H N M B Chứng minh MN NA.NF Vì MNF ∽ AMN ( g.g ) MN NF NA Và NFH ∽ AHF ( g.g ) NH NF NA 2 Vậy MN NH MN NH Chứng minh HFN 90 MN NH Có MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OB R MO đường trung trực AB AH MO HA HB MAF MEA có : AME chung ; MAF AEF MAF ∽ MEA( g g ) MA MF MA2 MF ME ME MA Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng MAO, có : MA MH MO ME MO MH MF Do MFH ∽ MOE (c.g.c) MHF MEO Vì BAE góc vng nội tiếp (O) nên E , O, B thẳng hàng ME.MF MH MO FEB FAB sd EB MHF FAB ANH NHF ANH FAB 90 HF NA HFN 90 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA, ta có : NH NF NA NM NH NM NH HB EF 1 Chứng minh HF MF 2 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA , có HA FA.NA HF FA.FN HB HA2 FA.NA NA HA HB HF HF FA.FN NF HB AF AN (vì HA=HB) Mà EF FA Vì AE / / MN nên MF NF (Hệ định lý Talet) HB EF NA FA NF 1 HF MF NF NF NF Câu (2,0 điểm) 3) Giải phương trình x x x 1 x x x x 1 x 1 x x x 1 2 x2 x x2 x x x (*) 2 Đặt t x x x x t Thay vào (*) ta có : t x x x x 1 x t x t x 1 0 2 t x x x x x 2 x ; x 2 Vậy 4) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2b 3c 11 Chứng minh 37 a bc a 2b 4c 3a b c S a b c ( a 2b 3c) a 2b 4c a 2b 4c 3a b c 1 11( BDT Co si ) a 2b 4c 3 11 37 S 2 2 4 S 2