Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 Mơn Tốn – lớp – THCS Thời gian làm : 150 phút Câu (3,0 điểm) m n Tính tổng m n 1 2) Chứng minh với số dương a b thay đổi thỏa mãn a b 1000 ta ln có a 1000 b 1000 a b 1) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 2 3 5 Câu (5,0 điểm) m 1) Cho phương trình x x x x m x m 1 0, với m tham số a) Giải phương trình với m b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt y x 1 y y x 2) Giải hệ phương trình : y xy x 0 Câu (3,0 điểm) P 0 1) Cho đa thức P( x) x x ax b với a, b số hữu tỉ thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Q 18P 3 3P a b 3 2022 m, n thỏa mãn 2m 5n 1 2m n m2 m 105 AB AC , Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao Lấy 2) Tìm tất cặp số tự nhiên D điểm thuộc miền tam giác AHC cho AH qua trung điểm BD Gọi E , F theo thứ tự giao điểm AH với đường thẳng CD BD Qua E kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường trịn đường kính CD điểm M (A M thuộc nửa mặt phẳng có bờ CD) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng BD với đường trịn đường kính CD Chứng minh : 1) Tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn ANB CAH 90 MD AB ED.BF BN EC 2) Tam giác EMD đồng dạng với tam giác ECM MC 3) Ba điểm A, M , N thẳng hàng Câu (2,0 điểm) 1) Trên mặt phẳng có 2021 đồng xu kích thước nhau, đồng xu có hai mặt có mặt màu xanh mặt màu đỏ, đồng thời tất đồng xu ngửa mặt màu xanh lên mặt Thực trò chơi sau đây: lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu mặt bàn Hỏi sau 2022 lượt chơi nhận tất 2021 đồng xu mặt bàn ngửa mặt màu đỏ lên hay khơng? Hãy giải thích sao? 2) Xét tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c thay đổi thỏa mãn c 2b abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P b c a a c b a b c ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) 3) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 2 3 5 m n 2 2 3 2 3 m n 42 6 m n 1 m n 10 m n 16 5 3 m n Tính tổng m n m n 1 4) Chứng minh với số dương a b thay đổi thỏa mãn a b 1000 ta ln có a 1000 b 1000 a b 1 a b 1000 1 ab 1000 a b a b 1000 ab a 1000 b 1000 a b 2000 ab 1000 a b 106 a b 2000 ab ab 106 a b 2000 2.1000 a b(dfcm) Câu (5,0 điểm) m 3) Cho phương trình x x x x m x m 1 0, với m tham số c) Giải phương trình với m Với m phương trình thành 1 x x x x 1 x 1 0 x x 1 x x 0 x 0 x x x d) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Đặt t x t 0 , phương trình cho trở thành 2t a 3 t a 1 t a 1 0 1 Xét phương trình ẩn x: x t Nếu t (2) vơ nghiệm Nếu t 0 (2) có nghiệm x 1 Nếu t có hai nghiệm phân biệt x 1 t Như vậy, t 0 không nghiệm phương trình (1) phương trình cho vơ nghiệm có số chẵn nghiệm Để phương trình có ba nghiệm điều kiện cần t 0 phải nghiệm (1), tức : a a 1 Thử lại, giá trị a 3, a 1 thỏa mãn y x 1 y y x 4) Giải hệ phương trình : y xy x 0 a 3 a 1 a 1 0 Xét y 0 x y 0 Xét y 3 x 1 y y x y xy x 0 Đặt x 1 y 0, y y 0 x x 1 x y 2 1 3 y x y xy x 0 x a 1 1 x y x 1 y a 1 3a 2 3a 2a 0 y a a ( ktm) x 1 x 2 x 1 x 0 x x 0 (tmdk ) y 1 Câu (3,0 điểm) P 0 3) Cho đa thức P( x) x x ax b với a, b số hữu tỉ thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Q 18P 3 3P a b 3 P 1 0 1 a 1 2022 b 0 10 24 12 a a b 0 18 a 0 18 a a b 34 0 a b 34 0 P( x) x x 18 x 16 Q 18 P 3 3P a b 3 2022 a 18 b 16 18.11 3.( 20) 2022 2160 2m 5n 1 2m n m m 105 4) Tìm tất cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn 2m 5n 1 m n m2 m m , n Vì nên 2m 5n 1 2m n m m 105 105 Ta thấy lẻ nên để 2m 5n 1 le 2m chan 5n chẵn nên n chẵn (*) 2m n m m lẻ mà n chẵn (theo (*)) m m m 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên m chẵn , lẻ nên m 0 Khi 5n 1 n 1 105 5n2 6n 104 0 26 n (ktm) 5n 26 n 0 n 4(tm) m, n 0; Vậy Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A AB AC , có AH đường cao Lấy D điểm thuộc miền tam giác AHC cho AH qua trung điểm BD Gọi E , F theo thứ tự giao điểm AH với đường thẳng CD BD Qua E kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường trịn đường kính CD điểm M (A M thuộc nửa mặt phẳng có bờ CD) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng BD với đường trịn đường kính CD Chứng minh : A M N E D B F H C K 4) Tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn ANB CAH 90 Theo giả thiết ta có BAC BNC 90 Suy A N nhìn BC góc vng nên A, B, C , N thuộc đường trịn đường kính BC hay tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn Do ACB, ANB hai góc nội tiếp chắn cung AB đường trịn đường kính BC nên ACH ACB ANB 1 Trong tam giác vuông AHC (vuông H) có ACH CAH 90 Nên từ (1) ta ANB CAH 90 MD AB ED.BF BN EC 5) Tam giác EMD đồng dạng với tam giác ECM MC Xét hai tam giác EMD ECM có CEM chung (2) sd MD Hơn EMD ECM (vì đường trịn đường kính CD) (3) 3 EMD ∽ ECM ( g.g ) Nên từ ta có EM ED MD MD ED Do EC EM CM MC EC Xét hai tam giác BHF BNC có CBN chung BHF BNC 90 nên BHF ∽ BNC Từ suy BH BC BF BN với tam giác ABC vng A có đường cao AH AB BH BC BF BN MD AB ED.BF BN MD AB ED.BF BN EC MC EC Nhân vế (5) ta : MC 6) Ba điểm A, M , N thẳng hàng Trong tam giác ABC vng A có đường cao AH AC CH BC nên kết hợp với (5) ta AB BH BC HB AC CH BC HC Gọi K giao điiểm thứ hai BC đường trịn đường kính CD AH / / DK (cùng vng góc với BC ) Kết hợp với giả thiết FB FD HB HC AB HK HK ED Từ (6) (7) suy AC HC với HC EC (do AH / / DK ) AB ED 8 Ta AC EC AB MD AB MD A, M , N 2 AC MC Từ (4) (8) ta : AC MC thẳng hàng Câu (2,0 điểm) 3) Trên mặt phẳng có 2021 đồng xu kích thước nhau, đồng xu có hai mặt có mặt màu xanh mặt màu đỏ, đồng thời tất đồng xu ngửa mặt màu xanh lên mặt Thực trò chơi sau đây: lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu mặt bàn Hỏi sau 2022 lượt chơi nhận tất 2021 đồng xu mặt bàn ngửa mặt màu đỏ lên hay không? Hãy giải thích sao? Lần thứ có 10 đồng xu màu xanh thành đỏ, sau lần thứ có 2011 đồng xu màu xanh 10 đồng xu màu đỏ ngửa mặt lên Giả sử lần lật thứ hai có x1 đồng xu màu xanh thành đỏ, có 10 x1 đồng xu màu đỏ thành xanh x 10 Số đồng xu có màu xanh ngửa lên phía : 2011 x1 10 x1 2021 x1 Cứ sau lần số đồng xu có mặt màu xanh ngửa lên phía ln số lẻ Vậy sau 2022 lần chơi khơng thể nhận 2021 đồng xu có mặt màu đỏ ngửa lên phía 4) Xét tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c thay đổi thỏa mãn c 2b abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P b c a a c b a b c 1 Áp dụng x y x y với x,y >0 Dấu xảy x y 1 1 1 P 2 3 b c a a b c b c a a c b a b c a c b 12 1 3 2 2b 2c 2a b c a Ta có : c 2b abc c 2b a a bc b c Co si P 2 a 2.2 a 4 a a Vậy Min P 4 a b c
Ngày đăng: 26/10/2023, 10:03
Xem thêm:
