010 đề hsg toán 9 lai châu 21 22

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH _ TỈNH LAI CHÂU MƠN TỐN NĂM HỌC 2021-2022  x 2 x 3 P    x  x 6 2 x  Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức x 2   : 2 x    x   x   a) Rút gọn biểu thức P 5  b) Tìm x để P Câu (4,0 điểm) a) Tìm số phương có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị khác 0, biết số tạo hai chữ số đầu (không đổi thứ tự) tạo hai chữ số cuối (không đổi thứ tự) số phương b) Giải phương trình :  x 5    x   x  x  10 3 Câu (5,0 điểm) 2 a) Tìm m cho phương trình x   2m  1 x  m  0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1 2 x2 2  x  xy  y 7  2  x  x y  y 21 b) Giải hệ phương trình : Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, AB đường kính cố định MN đường kính thay đổi cho MN khơng vng góc với AB M  A, M  B Các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến B C D Gọi I trung điểm CD, H giao điểm AI MN a) Chứng minh tứ giác CMND nội tiếp b) Chứng minh AI  MN c) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp  HBI Chứng minh J thuộc đường thẳng cố định Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu  x  y  z 1 P         y  z 2 z  x 2 x y 2 thức ĐÁP ÁN  x 2 x 3 P    x  x 6 2 x  Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức x 2   : 2 x    x   x   c) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0, x 4, x 9  x 2 x 3 P     x  x 6 2 x x 2    x 3   x  x x    x 2 x  x  x 2x 9 x4  x 2   : 2 x     x 1  x 2  x   x   x  :2 x  x  x  x 2 x x 1 x 1 x 1  x 2 x 5  d) Tìm x để P 5 x 2x   x     0  0 P x 1 2 x 1   x  x  0  x   Câu (4,0 điểm) c) Tìm số phương có bốn chữ số, chữ số hàng đơn vị khác 0, biết số tạo hai chữ số đầu (không đổi thứ tự) tạo hai chữ số cuối (khơng đổi thứ tự) số phương Gọi số phải tìm abcd n 2 Đặt ab x   x 9  Đặt cd  y Do d 0   y 9 Ta có : n 100ab  cd 100 x  y 100 x  n  10 x  n 10 x  Do x 4 nên n 41 1 2 2 Do n 10 x   y n  100 x  10 x  1  100 x 20 x  Kết hợp với y 9 ta có : 20 x  81  x 4 Ta lại có : x 4 nên x=4 2 2 2 Do y 9  n 100 x  y 100.4  1681 41  n 41  Từ (1) (2) suy n 41 Khi n 1681 d) Giải phương trình :  x 5    x   x  x  10 3 Điều kiện : x  Đặt x  a, x  b  a, b 0  , ta có : a  b  x    x   3, x  x  10   x  5  x   ab  1   a  b    ab  a  b2   a  b    a  ab  b  0   a  b    a    b  0  a b  x   x  5(VN )    a 1  x  1  x  1(tm)   b 1  x  1  x  4(ktm) Vậy phương trình có nghiệm x  Câu (5,0 điểm) 2 c) Tìm m cho phương trình x   2m  1 x  m  0 có hai nghiệm x1 , x2 với x1 2 x2  0   2m  1   m  1 0  4m  0  m   x1  x2 2m   Áp dụng hệ thức Vi-et ta có :  x1 x2 m  3x2 2m  1 1 x1 2 x2   2 x1 m  1    Do  2m   2m  2  x2   m  , thay vào (2) ta :   Từ (1) ta có  m 1   2m  1 9m   8m  8m  9m     m 7 Vậy m 1, m 7 thỏa đề d) Giải hệ phương trình : 2  x  xy  y 7  2  x  x y  y 21 2 Đặt x  y a, xy b , hệ phương trình thành:  a  b 7   2  a  b 21  a  b 7    a  b 3  x  y 5 a 5    b  2 xy  Cộng theo vế hai phương trình hệ ta :  x  y 1  x  1; y 2 x  xy  y 1   x  y  1    x  y   x  2; y 1 (do xy  2) Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, AB đường kính cố định MN đường kính thay đổi cho MN khơng vng góc với AB M  A, M B Các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến B C D Gọi I trung điểm CD, H giao điểm AI MN A N H O M C J B N I a) Chứng minh tứ giác CMND nội tiếp Có ACD vng A nên ACD  ADC 90 ABC vuông B nên ACD  BAC 90 nên BAC ADC hay OAM ADC Vì OAM cân O nên OAM OMA  ADC OMA Mà OMA  CMN 180 nên CMN  ADC 180  tứ giác CMND nội tiếp b) Chứng minh AI  MN Vì ADC vng A, AI đường trung tuyến nên AID cân I Nên IAD IDA Lại có ANH C  1 (cùng bù với MND) Mà IDA  C 90 nên IAD  C 90   Từ (1) (2) suy IAD  ANH 90 Suy tam giác AHN vuông H, hay AH  MN Vậy AI  MN c) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp  HBI Chứng minh J thuộc đường thẳng cố định Ta có tứ giác OBIH nội tiếp đường trịn đường kính OI Vì J tâm đường trịn ngoại tiếp  HBI nên JO = JI=JB = JC Suy J thuộc đường trung trực BC Do A, O, B cố định nên đường trung trực OB cố định Vậy J thuộc đường thẳng cố định đường trung trực OB Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ  x  y  z 1 P         y  z  z  x  x y  biểu thức  2x  y  z   y  z  x   2z  x  y  P 8 x  y  y  z   z  x Ta có : Mà : x  y  z  x  y    x  z  2  x  y   x  z  (1) y  z  x  y  z    x  y  2  y  z   x  y   2 z  x  y  x  z    y  z  2  x  z   y  z   3 Nhân vế (1), (2), (3) ta :  x  y  z   y  z  x   z  x  y  8  x  y   y  z   z  x   Min P 1  x  y  z