PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Với x > 0 thì giá trị của biểu thức P không nhận những giá trị n[.]
111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) x 3x 6x P : 2 x x x 27 x x x x x 27 Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Với x > giá trị biểu thức P khơng nhận giá trị Bài (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 19 x 30 b) Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương Bài (4,0 điểm) a) Giả sử đa thức chia f x f x cho chia cho x-2 dư 11, chia cho x x dư 3x+2 Tìm phần dư g x x3 3x 3x 1 yz zx xy 0 B x y z b) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau : Bài (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC CB, nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng ACNM , BCEF Gọi H giao điểm AE BN, D giao điểm BE AN Chứng minh : a) AE BN b) M , D, H , F thẳng hàng c) Đường thẳng MF qua điểm cố định C di chuyển AB Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A x2 2x x2 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) x 3x 6x P : 2 x 3x x 27 x x x 3x x 27 Cho biểu thức c) Rút gọn P x 3x 6x x 3 P : 2 x 3x x 27 x x x x x 27 x 0 x 3 x 3x 3x 6x x2 6x : : x x 3 x x x 3 x x 3 x x 3 x 3 x 3 x x d) Với x > giá trị biểu thức P không nhận giá trị x 3 Px 3P x P 1 x 3 3P x Th1: P 1 x 6(ktm) P th :P 1 x 3P P 3P 3P P 1 ) x 0 3P P P P 1 P 1 3P 3 3(tm) P 3P ) x P 0 P 0 P Vậy với x P khơng nhận giá trị thỏa mãn P 1 ) x 3 Bài (4,0 điểm) c) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 19 x 30 x 19 x 30 x3 x 10 x 30 x x 3 ( x 3) 10( x 3) ( x 3) x x 10 ( x 3)( x x x 10) x 3 x x x x x x 3 d) Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương Do n n 13 số phương n n 13 a a Z , n Z Đặt 4n 4n 52 4a 4n 2.2n.1 51 4a 2 2n 1 51 4a 51 2a 2n 1 2a 2n 1 2a 2n 1 2a 2n 1 1.51 51 51 51.1 3.17 17 17 17.3 2a 2n 1 1 51 2a 2n n a 51 13 13 51 13 17 1 12 13 Vậy n n 13 số phương Bài (4,0 điểm) c) Giả sử đa thức f x f x dư chia 51 3 17 17 13 4 13 3 n 3; 4; 13; 17 17 17 3 4 3 4 chia cho x-2 dư 11, chia cho x x dư 3x+2 Tìm phần cho g x x3 3x 3x Có Đặt đa thức chia f(x) cho g(x) ax bx c Ta có : g x x x x x x x f x : x 2 Vì dư 11 nên f 11 f x g x Q( x) ax bx c f 0.Q 4a 2b c f 4a 2b c Vì hay 4a 2b c 11 f x g ( x).Q ( x) ax bx c f x x x 1 g x Q ( x) x x Nên f x x x 1 dư 3x ax bx c x x 1 dư 3x+2 ax bx c a x x 1 (b a ) x (c a ) 2 b a 3 b c 1 1 4a 2b c 11 4a 3b c b 11 c a Đặt tính chia , có Từ (1) (2) suy 4a 3b 12 mà a b 3 4a 4b 12 b 0 a 3 Mà b c 1 c Vậy phần dư chia f(x) cho g(x) 3x 1 1 yz zx xy 0 B x y z d) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau : a b3 c3 3abc * a b c 0 Xét toán phụ Chứng minh a b c 0 a b c a b3 c a b3 a b 3ab (a b ) 3ab ( c ) 3abc Áp dụng tốn (*) có : 1 1 1 0 1 x y z x y z xyz Ta có : 1 3xyz yz zx xy xyz xyz xyz xyz 3 x y z x y z y z xyz x Bài (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC CB, nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng ACNM , BCEF B Gọi H giao điểm AE BN, D giao điểm BE AN Chứng minh : N M D H O F E A C B d) AE BN Có MNCA hình vng (gt) DAB 45 EFBC hình vng (gt) DBA 45 Có : DAB DBA ADB 180 45 45 ADB 180 ADB 90 BD AN Xét NAB có : BD AC (cmt ), NC AB( gt ); BD CN E E trực tâm NAB AE BN e) M , D, H , F thẳng hàng Gọi MC giao với AN O mà MNCA hình vuông (gt) nên O trung điểm MC, AN Và MC=AN , AE BN (cmt ) AH BN ANH vuông H 1 HO MC ( AN MC ) HO AN 2 Mà O trung điểm AN (cmt) nên suy MHC vuông H nên CHM 90 Tương tự : CHF 90 Ta có MHF MHC CHF 90 90 M , H , F thẳng hàng (1) Gọi FE AN X MN AC AMNC hình vng XAC 45 EFBC hình vng FCB 45 XAC FCB XA / /CF (hai góc đồng vị ) (2) EF / / BC hay XF / / AC EFBC hình vng (gt) Từ (2) (3) suy XFCA hình bình hành XF AC mà MN=AC(gt) nên XF=MN EFBC hình vng (gt) BEF 45 XED BEF 45 (đối đỉnh) Mà BD AN EDX 90 EDX vuông cân D DE DX Chứng minh tương tự : DE=DN => DX=DN XFCA hình bình hành XF / / AC ( gt ) ACNM hình vng suy AC / / MN XF / / MN MND FXD (so le trong) MND & FXD : MND FXD (cmt ), DX DN , MN XF MND FDX (c.g c ) MDN FDX Mà MDN MDX 180 FDX MDX 180 MDF 180 M , D, F thẳng hàng (4) Từ (1) (4) ta có M, D, F thẳng hàng f) Đường thẳng MF qua điểm cố định C di chuyển AB MND FDX (cmt ) MD FD M trung điểm MF (cmt) DZ AB Z AB , mà MA AB, FB AB (hình vng) suy DZ / / MA / / FB MABF hình thang Mà D trung điểm MF(cmt) suy Z trung điểm AB DZ đường trung bình hình thang MABF (định nghĩa) Kẻ MA BF AC CB AB MA AC 2 BF CB AB Có AB cố định nên cố định nên DZ cố định, mà Z trung điểm AB cố định AB DZ (cmt ); DZ AB nên D cố định lại có (cách vẽ) nên điểm D thuộc hai đường AB thẳng song song AB cách AB khoảng AB Vậy MN qua điểm D thuộc hai đường thẳng //AB cách AB khoảng DZ Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức Xét : 2 A x x x 3 x2 Max A 2 x 2 x x x 1 0 A 2 x 2 x 2 Xét : A 1 x x 3 x 2 x2 A 1 Min A 1 x x2 x x 2 0 x2 x 2 Vậy Min A 1 x 2; Max A 2 x 1 A x2 2x x2 ... FXD (cmt ), DX DN , MN XF MND FDX (c.g c ) MDN FDX Mà MDN MDX 180 FDX MDX 180 MDF 180 M , D, F thẳng hàng (4) Từ (1) (4) ta có M, D, F thẳng hàng f) Đường thẳng... hình vng (gt) DAB 45 EFBC hình vng (gt) DBA 45 Có : DAB DBA ADB 180 45 45 ADB 180 ADB 90 BD AN Xét NAB có : BD AC (cmt ), NC AB( gt ); BD CN E ... B x y z d) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau : a b3 c3 3abc * a b c 0 Xét toán phụ Chứng minh a b c 0 a b c a b3 c a b3 a b 3ab (a b )