PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Câu 1 (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm x để Câu[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP _ NĂM HỌC 2022-2023 x 4x2 x x 3x A : x x x x x3 Câu (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A Câu (6 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh A a b c số phương b) Giải phương trình nghiệm nguyên x xy 2012 x 2013 y 2014 0 c) Cho đa thức f x ax3 bx cx d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức lần x , x , x 3 lượt cho nhị thức thức nhận giá trị 18 Câu (3 điểm) có số dư x đa x x 10 x x với x 1 đạt giá trị lớn a) Tìm x để biểu thức 1 4 b) Cho x 0, y 0, z x y z 1 1 Chứng minh x y z x y z x y z E Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy BF H BF , AH điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với cắt DC BC M , N a) Chứng minh :Tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1 2 AM AN c) Chứng minh AD Câu (2 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu ĐÁP ÁN x x2 x x 3x A : x x x x x3 Câu (3 điểm) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A Điều kiện xác định : x 0; x 2; x 3 x x2 x x 3x A : x x x 2x x 2 x 4x2 x x x x2 x x2 8x x x x x 4x2 x x 3 x x (2 x).( x 3) x d) Tìm x để A 4x2 A x x x x 1(tm) x x 0 x 1 x 0 x (tm) Câu (6 điểm) d) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh A a b c số phương Ta có ab bc ca 1 a ab bc ca a a a b c a b a b a c Chứng minh tương tự : b a b (b c) ; c a c b c A a b c a b b c 2 a c a b b c a c a b b c c a Z Vì a, b, c số nguyên nên Suy A a b c số phương e) Giải phương trình nghiệm nguyên x xy 2012 x 2013 y 2014 0 x xy 2012 x 2013 y 2014 0 x xy x 2013 x 2013 y 2013 1 x x y 1 2013 x y 1 1 x 2013 x y 1 1 x 2013 1 x 2014 x y 1 y 2014 x 2013 x 2012 y 2014 x y Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên : x; y 2014; 2014 ; 2012; 2014 f x ax3 bx cx d f) Cho đa thức Tìm a, b, c, d biết chia đa thức x 1 , x , x 3 cho nhị thức có số dư x đa thức nhận giá trị 18 Từ đề ta suy Vì f x f x chia hết cho x 1; x 2; x đa thức bậc nên ta có : f x m x 1 x x Lại có , m số khác f 1 18 18 m 3 m 1 f x x x x 3 f x x x 11 Vậy Vậy a 1, b 6, c 11, d 0 Câu (3 điểm) x x 10 E x x với x 1 đạt giá trị lớn c) Tìm x để biểu thức x x 1 x 1 10 10 E 2 x x x 1 t , x ta có : Đặt 1 E 10t t 1 10 t 2t 20 20 400 39 39 E 10 t t 20 40 40 39 max E t x 19 40 20 Vậy 1 4 x 0, y 0, z x y z d) Cho 1 1 x y z x y z x y z Chứng minh 1 Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x, y dương) Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 ; 2x y z 2x y z y z y 4z 2x y z 2x y 4z 1 1 1 1 2 ; 3 x y 2z 4x y 2z Chứng minh tương tự : x y z x y z Từ (1), (2), (3) ta có : 1 11 1 1 1 2x y z x y z x y 2z x y z 2x y z x y z x y 2z x y z Dấu xảy Câu (6 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD BF H BF , AH lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vuông góc với cắt DC BC M , N A F D E B H M C N d) Chứng minh :Tứ giác AEMD hình chữ nhật Ta có : MAD ABF (cùng phụ với BAH ) ; AB=AD (gt); BAF ADM 90 ADM BAF ( g.c.g ) DM AF mà AF AE gt nên AE DM Lại có AE / / DM AB / / DC AEMD hình bình hành DAE 90 gt Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Mặt khác e) Biết diện tích tam giác BCH gấp lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF AB BH BC BH AF AH hay AE AH AB BC ; AE AF Ta có : Lại có HAB HBC (cùng phụ với ABH ) CBH ∽ EAH (c.g.c) ABH ∽ FAH ( g g ) 2 SCBH BC SCBH BC 4( gt ) 4 BC AE BC 2 AE S EAH AE mà S EAH AE Nên E trung điểm AB, F trung điểm AD Do BD 2 EF hay AC 2 EF (dfcm) 1 2 AM AN f) Chứng minh AD Do AD / / CN ( gt ) , áp dụng hệ định lý Talet ta có : 2 MN MC AB MC AD MC AD AD CN CM AM AN MN MN AN AB AN MN hay AN MN CN CM MN 1 MN MN (Định lý Pytago) 2 1 AD AD ( dfcm) 1 2 AM AN AD AM AN Câu (2 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu B C A E D +) Xét ngũ giác ABCDE , ta nhận thấy đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân +) Do tơ đỉnh A, B, C, D, E màu xanh , đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều hai màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân +) Vậy trường hợp ln tồn tam giác cân, có đỉnh tơ màu đôi khác màu ... nhận giá trị 18 Từ đề ta suy Vì f x f x chia hết cho x 1; x 2; x đa thức bậc nên ta có : f x m x 1 x x Lại có , m số khác f 1 18 18 m ... : x x x 2x x 2 x 4x2 x x x x2 x x2 8x x x x x 4x2 x x 3 x x (2 x).( x 3) x d) Tìm x để A 4x2 A