Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ LAI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP THÀNH PHỐ LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Với thì giá trị của biểu th[.]
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ LAI CHÂU Bài 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN CẤP THÀNH PHỐ LỚP NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 150 phút (4,0 điểm) x 3x 6x P : 2 x 3x 9x 27 x x x 3x 9x 27 Cho biểu thức: Bài 2: a) Rút gọn P b) Với x giá trị biểu thức P khơng nhận giá trị nào? (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 19 x 30 Bài 3: b) Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương (4,0 điểm) a) Giả sử đa thức f x chia cho x dư 11 , chia cho x x dư 3x Tìm phần dư chia f x cho g x x3 3x 3x 1 yz zx xy 0 B x y z b) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau: Bài 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC CB , nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng ACNM BCEF Gọi H giao điểm AE BN, D giao điểm BE AN Chứng minh rằng: a) AE BN b) M , D, H , F thẳng hàng c) Đường thẳng MF qua điểm cố định C di chuyển AB Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = A x2 2x x2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: x 3x 6x P : 2 x 3x 9x 27 x x x 3x 9x 27 (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Với x giá trị biểu thức P không nhận giá trị nào? Lời giải x 3x 6x P : 2 x 3x 9x 27 x x x 3x 9x 27 a) x 3 x2 3x 6x : x x 3 x x x x x x 3x 3x x2 6x : x x 3 x x 3 x 3 x b) Vì P x 3 P.x 3.P x P 1 x 3 3P x TH 1: Nếu P 1 x 6 (vơ lí) loại 3P x TH : Nếu P 1 P + Do + Do 3P 3P P 1 x 0 0 3P P P x 3 3P 3 P (đúng) x Bài 2: P 1 P 1 3P P 0 P 0 P + Do Vậy với x P khơng nhận giá trị thỏa mãn P 1 (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 19 x 30 b) Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương Lời giải a x 19 x 30 x x x 25 x x 30 x2 x 5 x x 5 x x x x x x x 3x x x x b Do n n 13 số phương 2 Đặt n n 13 a a Z , n Z 4n 4n 52 4a 4n 2.2n.1 51 4a 2 2n 1 51 4a 51 4a 2n 1 51 2a 2n 1 2a 2n 1 2a 2n 1 2a 2n 1 Ư 51 Mà Ư 51 = 1; 3; 17; 51 Ta có bảng sau: 2a-2n+1 -1 -51 2a+2n-1 51 -51 -1 n 13 -13 -12 a 13 -17 -13 51 13 13 17 -3 -17 -4 -3 -17 -3 -4 17 -4 Vậy n n 13 số phương n 3; 4; 13; 17 Bài 3: (4,0 điểm) a) Giả sử đa thức f x chia cho x dư 11 , chia cho x x dư 3x Tìm phần dư chia f x cho g x x 3x 3x 1 yz zx xy 0 B x y z b) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau: Lời giải g x x3 x x x x x 1 a) Có: Đặt đa thức chia f(x) cho g(x) ax bx c Ta có: f(x): (x-2) dư 11 f 11 Vì f ( x) g ( x).Q x ax bx c f (2) 0.Q(2) 4a 2b c f (2) 4a 2b c Hay: 4a 2b c 11 Vì f ( x) g ( x).Q x ax bx c 2 f ( x ) x x 1 g ( x ).Q ( x )x x 1 Nên f ( x ) : x x 1 ax bx c : x x 1 dư 3x dư 3x ax bx c a x x 1 b a x c a Đặt tính chia b a 3 b c 1(1) c a 2 Có: 4a 2b c 11 4a 3b c b 11 a b 3 4a 4b 12 Từ (1) (2) 4a 3b 12 mà b 0 a 3 b 3 Mà b c 1 c b 0 Vậy phần dư chia f(x) cho g(x) 3x 3 b) Xét toán phụ: a b c 0 Chứng minh a b c 3abc (*) Giải toán phụ: a b c 0 a b c Có: a b3 c a b3 a b a b3 a 3ab a b b3 3ab a b 3abc Áp dụng tốn (*) Có: 1 0 x y z 1 3 3 3 (1) x y z xyz Có: yz xz xy x2 y z xyz xyz xyz x y z B 1 1 xyz y z x B Bài 4: xyz 3 xyz Thay (1) vào B được: Vậy B = (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC CB , nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng ACNM BCEF Gọi H giao điểm AE BN, D giao điểm BE AN Chứng minh rằng: a) AE BN b) M , D, H , F thẳng hàng c) Đường thẳng MF qua điểm cố định C di chuyển AB Lời giải M N D H O A F E C B a) Có: MNCA hình vng(gt) DAB 45 (t/c) EFBC hình vng(gt) DBA 45 (t/c) Có: DAB DBA ADB 1800 450 450 ADB 1800 ADB 900 BD AN Xét NAB có: + BD AN (cmt ) + NC AB( gt ) + BD CN E E trực tâm tam giác NAB (t/c) AE BN (t/c trực tâm) b) Gọi MC AN O mà MNCA hình vng (gt) O trung điểm MC, AN MC = AN (t/c) AE BN (cmt ) AH BN ANH vuông H HO AN (t / c) Mà O trung điểm AN (cmt) HO MC AN MC 900 MHC vuông H(t/c) CHM Tương tự: CHF 90 0 Ta có: MHF MHC CHF 90 90 180 M , H , F thẳng hàng (1) Gọi FE AN X MN AC t / c XAC 450 + AMNC hình vng (gt) + EFBC hình vng (gt) FCB 45 t / c XAC FCB XA / /CF (hai góc đồng vị) (2) + EFBC hình vng (gt) EF / / BC (t / c) Hay XF / / AC (3) Từ (2) (3) XFCA hình bình hành (dh) XF AC (t / c ) mà MN AC (cmt) XF MN 0 + EFBC hình vng (gt) BEF 45 XED BEF 45 (đối đỉnh) Mà BD AN EDX 90 EDX vuông cân D (t/c) DE DX (t / c) Tương tự: DE DN DX DN + XFCA hình bình hành(cmt) XF / / AC (t/c) + ACNM hình vng (gt) AC / / MN (t/c) XF / / MN (t / c) MND FXD (so le trong) MND FXD có: MND FXD(cmt ) DX DN (cmt) MN XF (cmt) MND FXD(c.g.c ) MDN FDX Mà MDN MDX 180 FDX MDX 1800 MDF 1800 ba điểm M, D, F thẳng hàng (4) Từ (1) (4) M , D, F , H thẳng hàng (đpcm) c) MND FDX (cmt ) MD FD M trung điểm MF(cmt) Kẻ DZ AB Z AB Mà MA AB, FB AB (hình vng) DZ / / MA / / FB MABF hình thang Mà D trung điểm MF(cmt) Z trung điểm AB DZ đường trung bình hình thang MABF (định nghĩa) MA BF AC CB AB MA AC , 2 BF CB AB cố định DZ cố định Có: AB cố định DZ Mà Z trung điểm AB cố định D cố định DZ Lại có: AB (cmt ) DZ AB (cách vẽ) AB Điểm D thuộc hai đường thẳng // AB cách AB khoảng Vậy MN qua điểm D thuộc hai đường thẳng //AB cách AB khoảng AB Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: Lời giải Xét: 2 A x x x 3 x2 2 x x x 1 0 x2 x 2 A 2 Dấu “ = ” xảy x 0 x Xét: A 1 x x 3 x x2 2 x2 4x x 2 0 x2 x 2 A 1 Dấu “ = ” xảy x 0 x Vậy A = x A max = x 1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = A x2 2x x2 ... DN (cmt) MN XF (cmt) MND FXD(c.g.c ) MDN FDX Mà MDN MDX 180 FDX MDX 180 0 MDF 180 0 ba điểm M, D, F thẳng hàng (4) Từ (1) (4) M , D, F , H thẳng hàng (đpcm)... vng(gt) DAB 45 (t/c) EFBC hình vng(gt) DBA 45 (t/c) Có: DAB DBA ADB 180 0 450 450 ADB 180 0 ADB 900 BD AN Xét NAB có: + BD AN (cmt ) + NC AB( gt ) + BD CN ... 1 c b 0 Vậy phần dư chia f(x) cho g(x) 3x 3 b) Xét toán phụ: a b c 0 Chứng minh a b c 3abc (*) Giải toán phụ: a b c 0 a b c Có: a b3 c a b3 a