PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN P Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x để P x 1 6 x Bài (6,0 điểm) 1 1 a) Giải phương trình : x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 20223 223 2022 22 3 b) Không thực phép tính, chứng minh : 2022 2000 2022 2000 3 3 c) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a b 5c 11d Bài (3,0 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 x y xy x y 18 b) Cho a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P b c 4a 3c 12 b c 2a 3b 2a 3c A AB AC Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông , đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H AB, AC Gọi M N trung điểm BH , CH Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC F Gọi O giao điểm AH DE a) Chứng minh AH BH CH AD AB AE AC b) Giả sử BC cố định, A di động thỏa mãn BAC 90 Chứng minh đường thẳng qua O vng góc với AF ln qua điểm cố định c) Chứng minh , trực tâm tam giác AMN trung điểm OH Bài (1,0 điểm) Chứng minh rằng, 29 số nguyên dương khác nhỏ 100 ta chọn số có ước chung lớn khác ĐÁP ÁN P Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x c) Rút gọn biểu thức ĐKXĐ: x 0; x 1 x x x 1 x x x 1 P : x x 1 x x x x x 1 x 1 x 1 x x2 : x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x x 1 x x 1 x2 : 2 x x 1 x 1 x 1 x x d) Tìm x để Ta có P x 1 6 x P x 1 6 x 5; x2 x 1 6 x x x 0 x x 1(ktm) x 5(tm) Vậy x 5 Bài (6,0 điểm) 1 1 d) Giải phương trình : x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 1 x 4; 5; 6; x x 5 x 5 x x x 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 54 x 13 x 0 x x 18 x 13(tm) x 2(tm) 20223 223 2022 22 3 e) Không thực phép tính, chứng minh : 2022 2000 2022 2000 Đặt 2022 a; 22 b, 2000 c a b c Xét vế phải đẳng thức ta có 2 20223 223 a b3 a b a ab b 20223 20003 a c a c a ac c Thay a b c vao a ab b b c b c b b b bc c 2 a ac c b c b c c c b bc c a ab b a ac c 20223 223 a b3 20223 20003 a c a b a ab b a b 2022 22 a c a ac c a c 2022 2000 dfcm 3 3 f) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a b 5c 11d a b3 5c 11d a b3 c d 6c 12d a b c d 6 a b3 c d a b c d Xét hiệu a a b3 b c c d d a a 1 a 1 b b 1 b 1 c c 1 c 1 d d 1 d 1 6 Khi 3 3 Mà a b c d 6 a b c d 6 Bài (3,0 điểm) a b c d a b c d 6 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 x y xy x y 18 Ta có : A 2 x xy y y x y 18 2 x y x y 4 y y 2 2 x y y 3 1 Dấy xảy x 5; y 3 Vậy Min A = x 5; y 3 d) Cho a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P b c 4a 3c 12 b c 2a 3b 2a 3c Biểu thức cho viết lại : P y z 2x z y 4z y z x x 2x z y 4x 4x 4z x y xz x y xz y x zx xz 4x 4y y xz xz x y x Lập luận chứng minh P 5 Dấu xảy x y z hay 2a 3b 3c Vậy Pmin 5 2a 3b 3c A AB AC Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông , đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H AB, AC Gọi M N trung điểm BH , CH Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC F Gọi O giao điểm AH DE A E O D B F K C I M H P N d) Chứng minh AH BH CH AD AB AE AC Chứng minh ABH ∽ CAH AH BH CH Chứng minh ABH ∽ AHD AH AD AB Chứng minh HAE ∽ CAH AH AE AC AD AB AE AC e) Giả sử BC cố định, A di động thỏa mãn BAC 90 Chứng minh đường thẳng qua O vng góc với AF ln qua điểm cố định Gọi P trung điểm BC nên P cố định Chứng minh AP DE Chứng minh O trực tâm FAP PO AF Suy đường thẳng qua O vuông góc với AF ln qua điểm cố định P f) Chứng minh , trực tâm tam giác AMN trung điểm OH Gọi I trung điểm OH, gọi K giao điểm MI AN ABC vng A, đường cao AH AH BH CH AH CH BH AH AH CH OH NH BH AH BH AH Chứng minh BHO ∽ AHN (c.g.c) OBH NAH BO AN Lai có MI đường trung bình HBO MI / / BO MK AN Mặt khác AH MN Vậy trực tâm tam giác AMN trung điểm I OH Bài (1,0 điểm) Chứng minh rằng, 29 số nguyên dương khác nhỏ 100 ta ln chọn số có ước chung lớn khác Từ đến 100 có tất 26 số nguyên tố Khi phân tích 29 số nguyên dương cho thừa số nguyên tố, có số chứa thừa số nguyên tố 26 số nguyên tố Hai số có ước chung lớn khác Vậy đpcm