PHỊNG GD&ĐT TÂN KỲ ĐÈ CHÍNH THỨC Đề gồm có 01 trang KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN THI: TỐN HỌC Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) a) Tính A 2 74 7 B b) Cho hai biểu thức 2 x x x 3x x ; C 1 x 1 x x x 3 Rút gọn biểu thức C gọi M B.C , so sánh M với M Bài (6,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n n 11n chia hết cho b) Giải phương trình : x x 5 2 c) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 4 x Bài (2,0 điểm) Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh x y z : y xy z yz x zx Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH H BC Đường thẳng vng góc với BC B cắt AC D a) Chứng minh AH HB.HC BH BC AD AC S ABH HC S BC BDA b) Chứng minh P 2sin cos sin Tính tan c) Cho góc nhọn Bài (2,0 điểm) Cho điểm phân biệt nằm bên hình vng ABCD có cạnh 10 Chứng minh có điểm hình vng cho (có thể nằm cạnh hình vng) cho khoảng cách từ đến điểm cho lớn 2,5 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) c) Tính A A 2 74 7 2 14 14 28 49 48 74 7 B d) Cho hai biểu thức 2 x x x 3x x ; C 1 x 1 x x x 3 Rút gọn biểu thức C gọi M B.C , so sánh M với M x x 3x x C 1 x x x 3 x x x x 3x x 3 x 3 x x 3 M Với Với Với x x 23 x 1 x 1 x x 1 x 3 x 3 x 3 x x 1 x 17 x 1 x 3 x 3 x 3 x M 0 25 nên không tồn x M 0 , x 3 25 M M 17 17 x 3 17 17 x 3 Vì M M M Bài (6,0 điểm) d) Chứng minh với số tự nhiên n n 11n chia hết cho n3 11n n n 12n n 1 n n 1 12n Do n 1 n n 1 6 ;12n6 dfcm e) Giải phương trình : x x 5 x x 5 x 3 5 x 5 x 5 x 2 x x 2 f) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 4 x x y 4 x x x y 7 x y 7 x y x y 7 7.1 1.7 ( 1) ( 1).( 7) x 2 y x 2 y x y 3 1 7 2 3 7 1 1 Vậy (x;y)= (6;-3); 6;3 ; 2; 3 ; 1; Bài (2,0 điểm) Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh x y z : y xy z yz x zx x x x y2 y2 y 2 xy y y x y2 y x y y x y x y 2 y x bdt Co si y x 1 2 x y xy y y x x 11 x 11 1 1 1 Mà x x xy y y x y x Tương tự cho hai phân thức lại Cộng vế theo vế : 3 1 1 3 27 3 VT dfcm x y z 4 x y z 4.3 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH H BC Đường thẳng vng góc với BC B cắt AC D D A C B H d) Chứng minh AH HB.HC BH BC AD AC Xét ABC vng tai A có AH BC : AH BH HC (hệ thức lượng tam giác vuông) AB BH BC ( hệ thức lượng tam giác vuông)(1) Xét BDC vng B, có AB AC : AB AD AC ( hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2) suy BH BC AD AC (dfcm) S ABH HC e) Chứng minh S BDA BC S ABH HB AH S BDA DA.BA Ta có : HB HC DA AC HB AH HC AH HC AH HC S HC ABH (dfcm) DA BA BA AC AH BC BC S BDA BC AH BC , DB BC AH / / DB P 2sin cos sin Tính tan f) Cho góc nhọn Ta có sin sin cos tan cos P 2sin cos 32 21 2 tan 2 36 Bài (2,0 điểm) Cho điểm phân biệt nằm bên hình vng ABCD có cạnh 10 Chứng minh có điểm hình vng cho (có thể nằm cạnh hình vng) cho khoảng cách từ đến điểm cho lớn 2,5 I A B M L Q N J P D K C Gọi I , J , K , L trung điểm AB, BC , CD, DA Trên đoạn IK lấy điểm M , P Trên đoạn JL lấy điểm N , Q cho IM JN KP LQ 1 Ta có : MP NQ 8 5, MA MB NB NC PC PD QD QA 52 26 Và MN NP PQ QM 4 Do đó, xét hình trịn có tâm A, B, C , D, M , N , P, Q bán kính 2,5 hình trịn đơi khơng có điểm chung Vì có điểm phân biệt nằm bên hình vng nên có hình trịn khơng chứa điểm số điểm cho Tâm hình trịn điểm có khoảng cách từ đến điểm lớn 2,5