PHÒNG GD&ĐT TỨKỲĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 Vòng I - Năm học 2009-2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/11/2009 (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu I ( 5,0 điểm ). a) Cho P = ( ) 2 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x − − + − + + + − Rút gọn rồi tính giá trị của P khi x = 2 3 5 4. 2 3 − + + b) Chứng minh rằng: x= 3 3 7 4 3 7 4 3+ + − là một nghiệm của đa thức: f(x) = 3 3 14x x− − Câu I (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) ( ) 2 6 3 2 0x x x− + − = b) 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = Câu III (4,0 điểm). a) Không dùng bảng số và máy tính hãy tính giá trị của biểu thức: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 A sin 6 sin 19 sin 32 sin 45 sin 58 sin 71 sin 84 = + + + + + + b) Cho biết sinα+cosα= 7 5 (với 0 0 <α<90 0 ). Hãy tính tgα. c) Chứng minh rằng: 0 tg67 30' 2 1= + Câu IV (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. a) Chứng minh: BC 2 =3AH 2 +BE 2 +CF 2 . b) Giả sử BC = a (không đổi). Tìm giá trị nhỏ nhất của của BE 2 + CF 2 . c) Tính theo a giá trị của biểu thức: 2 2 3 3 BE CF+ Câu V. (2,0 điểm). Tìm các số nguyên k để giá trị của biểu thức 49k + 2014 là tích của hai số nguyên liên tiếp. ======== Hết ======== Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! T-DH01-HGS9-09 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨKỲ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHI CHỌN HỌC GIỎI HUYỆN LỚP 9 Vòng I - Năm học 2009-2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/11/2009 Câu Phần Nội dung Điểm CâuI (5điểm) a) (3điểm) *ĐKXĐ : x > 0, x 1≠ Ta có: P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x − + + + − + − + + + − = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1x x x x− − + + + = x − 2 1 2 2x x x− − + + = 1x x− + . Vậy P = 1x x− + với x > 0 và x 1≠ *Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 3 5 4. 5 4. 2 3 2 3 5 4.(2 3) 13 4 3 2 3 1 2 3 1 x x + = + = + + − = + + = + = + ⇒ = + Khi đó P = ( ) ( ) 2 13 4 3 2 3 1 1 13 4 3 2 3 1 1+ − + + = + − + + = 13 2 3+ 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 b) (2điểm) Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 3. 7 4 3. 7 4 3 7 4 3 7 4 3 14 3. 7 4 3 7 4 3 14 3. 3 14 0 x x x x x x x = + + − ⇒ = + + − = + + − + + − + + − ⇒ = + + + − ⇒ = + ⇒ − − = Chứng tỏ x= 3 3 7 4 3 7 4 3+ + − là một nghiệm của đa thức f(x)= 3 3 14x x− − 0,5 0,5 0,5 0,5 CâuII (4điểm) a) (2 điểm) a) ( ) 2 6 3 2 0x x x− + − = (*) ĐKXĐ: 3 2 x ≤ Khi đó phương trình(*) tương đương với 2 6 0 (1) 3 2 0 (2) x x x − + = − = Giải (1): 0,5 0,5 ( ) ( ) 2 2 6 0 6 0 3 2 0 3 0 3 2 0 2 x x x x x x x x x x − + = ⇔ − − = ⇔ − + = − = = ⇔ ⇔ + = = − Giải (2): 3 3 2 0 3 2 0 2 x x x− = ⇔ − = ⇔ = Do x = 3 không thỏa mãn điều kiện x 3 2 ≤ nên phương trình có nghiệm là: x= -2 và x = 3 2 0,5 0,5 b) (2điểm) 2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = Điều kiện để phương trình xác định là: 2 1 0 1 2 1 0 2 2 1 0 x x x x x x − ≥ + − ≥ ⇔ ≥ − − ≥ Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + + − − − + − − = ⇔ + − − = ⇔ + − = ⇔ − = − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 1 1 2 x≤ < 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 CâuIII (4điểm) a) (2điểm 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 A=sin 6 +sin 19 +sin 32 +sin 45 +sin 58 +sin 71 +sin 84 A=(sin 6 +sin 84 )+(sin 19 +sin 71 )+(sin 32 +sin 58 )+sin 45 A=(sin 6 +cos 6 )+(sin 19 +cos 19 )+(sin 32 +cos 32 )+sin 45 2 A=1+1+1+ 3 2 = ÷ ÷ 1 2 0,5 0,5 b) (1điểm) Từ 7 sin os 5 c α α + = suy ra 7 os sin 5 c α α = − Lại có: 2 2 sin os 1c α α + = nên 2 2 7 sin sin 1 5 α α + − = ÷ 2 2 49 14 sin sin sin 1 25 5 α α α ⇔ + − + = 2 25sin 35sin 12 0 α α ⇔ − + = ( ) ( ) 5sin 4 5 sin 3 0 α α ⇔ − − = α α = ⇔ = 4 sin 5 3 sin 5 0, 5 0, 5 Nếu 4 sin 5 α = thì 3 os 5 c α = 4 3 tg α ⇒ = Nếu 3 sin 5 α = thì 4 os 5 c α = 3 4 tg α ⇒ = 0,5 c) (1điểm) x B A C K Giả sử tam giác ABC vuông tại A có µ B = 0 67 30' . Suy ra µ C = 0 22 30' Trên tia AB ta lấy điểm K sao cho AK=AC. Như vậy tam giác ABC vuông cân tại A và CB là tia phân giác của góc C. Đặt AC=x. Thì AK=x; KC= 2x . Theo tính chất đường phân giác ta có: 2 1 2 AB BK AK AC KC AC KC AB x x AB x x x = = + ⇒ = ⇒ = + + Từ đây tính được: tg · ABC = 1 2 1 2 AC x x AB = = + + hay 0 tg67 30' 2 1= + 0,5 0,5 0,5 Câu IV (5điểm) Hình vẽ E F B C A H a) (2 điểm) Chứng minh BC 2 =3AH 2 +BE 2 +CF 2 Ta có: 3AH 2 +BE 2 +CF 2 =3AH 2 +BH 2 -HE 2 +CH 2 -HF 2 =3AH 2 +BH 2 -HE 2 +CH 2 -HF 2 =3AH 2 -(HE 2 +HF 2 )+BH 2 +CH 2 =3AH 2 -EF 2 +(BH+CH) 2 -2.BH.HC =2AH 2 +BC 2 -2AH 2 (vì EF=AH) =BC 2 0,5 0,5 0,5 0.5 b) ( 1,5 điểm) BC 2 =3AH 2 +BE 2 +CF 2 Suy ra: BE 2 +CF 2 = BC 2 -3AH 2 Từ đó BE 2 +CF 2 nhỏ nhất khi AH lớn nhất(BC=a không đổi) Giả sử AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC thì 0,5 AM=a/2(không đổi) và AH≤AM (Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A. Do đó BE 2 +CF 2 nhỏ nhất bằng 2 2 2 2 2 BC 3AM a 3. 2 4 a a − = − = ÷ khi tam giác ABC vuông cân tại A. 0,5 0,5 c) (1,5 điểm) Trong tam giác vuông AHB có: ( ) 2 4 4 3 2 2 1 . BH BH BH BH BE BE BA BA BH BC BC = ⇒ = = = Trong tam giác vuông AHC có: ( ) 2 4 4 3 2 2 2 . CH CH CH CH CF CF CA CA CH BC B C = ⇒ = = = Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 3 3 BE CF+ = 3 3 BH CH BC BC + = 3 3 3 2 BC BC a BC = = 0,5 0,5 0,5 Câu V (2,0 điểm) Giả sử có số nguyên k sao cho 49k+2014 là tích của hai số nguyên liên tiếp. Tức là ta có: 49 2014 ( 1)k n n+ = + với n∈Z Hay 2 2 2 49 2014 5 49 2009 4 3 12 7 49( 41) ( 4) 3( 4) 7 49( 41) n n k n n k n n n k n n n k + = + ⇒ + − = + ⇒ + − − + = + ⇒ + − + + = + ( 3)( 4) 7 49( 41)n n k⇒ − + + = + (*) Do n+4=(n-3)+7 nên +Nếu n-3 chia hết cho 7 thì n+4 chia hết cho 7. ( 3)( 4)n n⇒ − + chia hết cho 49 ( 3)( 4) 7n n⇒ − + + không chia hết cho 49 (Điều này vô lí vì(*)) +Nếu n-3 không chia hết cho 7 thì n+4 không chia hết cho 7. ( 3)( 4)n n⇒ − + không chia hết cho 7 ( 3)( 4) 7n n⇒ − + + không chia hết cho 7 (Điều này vô lí vì(*)) Vậy không có số nguyên k nào thỏa mãn đề bài. 0,5 0,5 0,5 0,5 . bộ coi thi không giải thích gì thêm! T-DH01-HGS 9- 09 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI HUYỆN LỚP 9 Vòng I - Năm học 20 0 9- 2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150. 3AH 2 +BE 2 +CF 2 =3AH 2 +BH 2 -HE 2 +CH 2 -HF 2 =3AH 2 +BH 2 -HE 2 +CH 2 -HF 2 =3AH 2 -( HE 2 +HF 2 )+BH 2 +CH 2 =3AH 2 -EF 2 +(BH+CH) 2 -2 .BH.HC =2AH 2 +BC 2 -2 AH 2 (vì EF=AH) =BC 2 0,5 0,5 0,5 0.5 b) (. PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 Vòng I - Năm học 20 0 9- 2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/11/20 09 (Đề này gồm 05 câu,