tong hop de thi HSG Toan 9 co dap an

Điểm M thuộc nữa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA.Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax,By.Đường thẳng qua M và vuông góc MC cắt Ax;By tại P và Q.. b, Tìm điểm cố định của

9 2 7



Câu 2: Cho (p): y x 2

(d): y 3x 2 

a, Tìm hai toạ độ giao điểm của (p) và (d)

b, Tính diện tích tam giác tạo bởi hai toạ độ giao điểm và gốc toạ độ

Câu 3: Giải hệ phương trình:

AC AI cắt BE tại H

a, Chứng minh rằng CHI CBA

b, Chứng ming COEI

c, Khi ACB 60 0 Chứng minh CH CO

Câu 5: Cho ABC có A 90 0; AB BC AM là đường trung tuyến của tam giác AMB  ;

ACB  Chứng minh 1 sin  (sin cos ) 2

b, Kẽ đường kính CD

DAB BCD

DAB ABE

ABE ABF

ACE HIE

 HIE BCD có AIBC IECO 3,0đ c, HCE DCB CH CE CD BC      CH 1BC 2  3,0đ Câu 5: 1 AH sin AM BCsin 2    

AH sin AC BCsin cos    

sin 2sin cos     

2 1 sin (sin cos )        2,0đ

H . O

F

E

I D

C B

A

C M

H B

a, Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.

b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?

a, Viết phương trình đường thẳng AB

b, Một điểm M (x;y) di chuyển trên đoạn thẳng AB Gọi C; D theo thứ tự là hình chiếu của

M trên OA; OB Gọi N là điểm chia đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2 Tính toạ độ (x’; y’) của N theo( x; y)

c, Lập một hệ thức giữa x’; y’ từ đó suy ra quĩ tích của N

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0 (1đ)

Câu 2 Viết lại hệ đã cho dưới dạng

(x+2y+2) ( x-y) =-7 (1)

x3+y3+x-y = 8 (2) (1,5đ)

Từ (1) do x, y nguyên ta có các trường hợp sau:

a, x- y=-1 và x+2y+2 = 7 =>x=1 và y = 2 thoả mãn ( 2) (0,5đ)

b, x-y = 1 và x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên (o,5đ)

c, x- y= -7 và x+ 2y +2 = 1

Giải hệ nàyđược nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mãn phương trình (2) (0,5đ)

d, x-y = 7 và x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên (0,5đ)

Tóm lại hệ đã cho có duy hất một nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2) (0,5đ)

Câu 3 (4đ)

a, Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b ( a # 0) (0,5đ)

Đường thẳng đi qua điểm A ( 6; 0) nên ta có 6a+ b = 0 (1) và đi qua điểm B ( 0;3) nên ta

có b = 3 Thay b = 3 vào (1) => a = - 1

2 (0,5đ)Vậy đường thẳng AB là y = - 1

2x +3 (0,5đ)

b, Gọi H là hình chiếu của N trên OA, K là hình chiếu của N trên OB

4x + 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất (0,5đ)

Gọi I là trung điểm của OM tam giác OQM vuông tại Q => QI = IO = IM Vậy Q thuộc đường tròn đường kính OM (0,5đ)

Kết hợp với câu a => 5 điểm M, N, O, Q, P thuộc đường tròn đường kính OM => đường tròn ( MNP) luôn đi qua hai điểm O, Q cố định khi M di chuyển trên d (0,5đ)

c, Để tam giác MNP đều => góc NMP = 600 mà MO là phân giác của góc NMP

=> NMO = 300 => ON = 1

2 OM => OM = 2NO = 2R (0,5đ) Dựng cung tròn tâm O bán kính 2R cắt d tại M => M là điểm cần dựng để tam giác MNP đều (0,5đ)

Thật vậy OM = 2R= 2ON => sin NMO = ON 1

Bài 3:(4đ) Cho đường thẳng(Dm) có phương trình (m + 2)x + (m – 1)y – 1 = 0

a> Chứng minh khi m thay đổi đường thẳng (Dm) luôn đi qua một điểm cố định

b> Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (Dm) lớn nhất

Bài 4:(7đ) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nữa đường tròn, điểm C thuộc

đoạn OA.Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax,By.Đường thẳng qua M và vuông góc MC cắt Ax;By tại P và Q AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F

a.Chứng minh tứ giác ACMP nội tiếp

b.Chứng minh: <PCQ = 1v

*Với x = 0 thay vào phương trình (1) ta được y =1 (0,25đ)

*Với y= 0 thay vào phương trình (1) ta được x =1 (0,25đ)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y) = (0;1); (1;0) (0,25đ)

3 (0,5đ)

Với m = 1 thì (Dm) có dạng: 3x -1 = 0.Khoảng cách từ 0 đến (Dm) là 1

3 (0,5đ)Với m 2 ; m 1.Khoảng cách từ 0 đến (Dm) lớn nhất khi OI (Dm) mà (Dm) cắt Ox tại A1



I B

F

 <FEM = <MAB  EF // AB (0,25đ)

Bài 5: áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các cặp số không âm :

Tìm các giá trị của m để 2 đường thẳng y = (m – 1)x + 2 (m 1)

Và y = (3 –m)x + 1 (m 3) song song với nhau

Câu 3(2điểm): Cho hệ phương trình: 4x my m 6

Giải và biện luận hệ phương trình trên

Câu 4(3điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn(O’) và (O) theo thứ tự tại C và D Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây cung AD và AC

Chứng minh rằng:

a AC

AD =

ABBD

  BDP =  BAQ ( 1điểm).

c  APD +  BPD = 1800 ( Kề bù)

Mà  BPD =  AQB   APB +  AQB = 1800

 Tứ giác APBQ nội tiếp

a, Nêu điều kiện phải có của x và rút gọn biểu thức A

b, Tìm những giá trị của x để A có giá trị nguyên

Câu 2 (4đ) Giải phương trình.

+ x 42005



b, x 1 4 x 5   + 11 x 8 x 5   = 4

Câu 3 (4đ) Cho đường thẳng (m+2)x – my = -1 (1) (m là tham số)

a, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (1) luôn đi qua

b, Tìm điểm cố định của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (1) là lớn nhất

Câu 4 (6đ) Cho ABC (AB = AC ) Biết A = 800

Lấy điểm I nằm trong tam giác sao cho ICB = 200; IBC = 100

a, Lấy K đối xứng với i qua AC Chứng minh rằng tứ giác AKCB nội tiếp

+ x 42005

2006

 + 1) + (x 4

2005

 + 1) (0,5đ)

 x 2009

2008



+x 20092007



=x 20092006



+x 20092005



(0,5đ)

 

   0

0

1 x 2 1 y 2

b, (2đ) Gọi A là điểm của đường thẳng (1) với trục tung

x = 0  y = 1

m do đó OA =

1m

B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành

Chứng minh được ICK đều

- Chỉ ra được BIK = BIC (c.g.c) (0,5đ)

Câu 5 (2đ)

a, Nêu điều kiện phải có của x và rút gọn biểu thức A

b, Tìm những giá trị của x để A có giá trị nguyên

Câu 2 (4đ) Giải phương trình.

+ x 42005



b, x 1 4 x 5   + 11 x 8 x 5   = 4

Câu 3 (4đ) Cho đường thẳng (m+2)x – my = -1 (1) (m là tham số)

a, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (1) luôn đi qua

b, Tìm điểm cố định của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (1) là lớn nhất

Câu 4 (6đ) Cho ABC (AB = AC ) Biết A = 800

Lấy điểm I nằm trong tam giác sao cho ICB = 200; IBC = 100

a, Lấy K đối xứng với i qua AC Chứng minh rằng tứ giác AKCB nội tiếp

+ x 42005

2006

 + 1) + (x 4

2005

 + 1) (0,5đ)

 x 2009

2008



+x 20092007



=x 20092006



+x 20092005

 

   0

0

1 x 2 1 y 2

b, (2đ) Gọi A là điểm của đường thẳng (1) với trục tung

x = 0  y = 1

m do đó OA =

1m

B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành

Chứng minh được ICK đều

- Chỉ ra được BIK = BIC (c.g.c) (0,5đ)

 ABK = AKC = 300 (1,5đ)

b Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh rằng : EK // AB

c Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi

x

P

x - x 1 (0.5)b) Ta có

0 2

a + b < a + b + c = 4 => a b 2   a b 2 a b   (1 ) 0,5

Tương tự ta có b + c < 2 b c (2) 0.25

a + c < 2 c a (3) 0,25 Cộng vế với vế của (1) , (2) , và (3) ta có

Ta có : AB/ AF=AF/AC  AF2=AB.AC 0.5

 AF= AB.AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB.AC không đổi 0.5

Vậy E,F thuộc đường tròn (A; AB.AC ) cố định

2 Tứ giác AOIF nội tiếp đường tròn

Do đó :EK vàAB song song vơí nhau 0.5

3 Cm được A,N,O thẳng hàng và AO EF ;

Gọi H là giao điểm của BC và EF

Ta có :  ANH và  AIO đồng dạng nên AH AN

AO  AI 0.5Suy ra :AH.AI =AN.AO

Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC 0.5

Do đó : AI.AH =AB.AC AH AB.AC

AI

  không đổi Vậy H cố định 0.5

Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp OIN luôn qua I và

H ;Do đó tâm đương f tròn này nằm trên đường trung trực của IH 0.5

Cho biểu thức

Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): 3x – 2y + 3 = 0 và

(d') : 3x + 2y – 9 = 0 cắt nhau tại C và lần lượt cắt trục Ox tại A, B

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm

Câu 3:(4.0 điểm)

a) Cho biểu thức :

M x 2 5x y 2xy 4y 2014  Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 4 (5.5đ): Cho tam giác ABC Phân giác AD (D  BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D

đồng thời tiếp xúc với BC tại D Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F Chứng minh

do đó ACD ADE và EAD DAC

 DDADC (g.g) DADC (g.g)ADC (g.g) (0,5đ)

Bài 2(4 điểm): Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh

thì còn thừa 1 học sinh Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại Biết mỗi ô tô chỉ trở được không quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan?

Bài 3 (4 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M Các đường cao MD và NE cắt nhau tại H Vẽ

đường tròn (O) đường kính MH Chứng minh rằng:

a)E nằm trên đường tròn (O)

b) Bốn điểm M, N, D, E cùng thuộc một đường tròn

c) DE  OE

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc A bằng 150; góc B bằng 450 trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2BC

a) Tính góc ADB

b) Tính khoảng cách từ D đến AC, nếu biết BC = 3 cm

Bài 5 (3,5 điểm): Cho hai số thực a,b thoã mãn a > b và ab = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

A = x 4x 1 1

Vì mỗi ô tô chỉ chở không quá 32 học sinh nên x = 24 (0,5 điểm).

Vậy số ô tô là 24 , số học sinh là 529 em (0,5 điểm).

Bài 3 (4 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M Các đường cao MD và NE cắt nhau tại H Vẽ

đường tròn (O) đường kính MH Chứng minh rằng:

a)E nằm trên đường tròn (O)

b) Bốn điểm M, N, D, E cùng thuộc một đường tròn

c) DE  OE

M

a) Tam giác HME là tam giác vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính MH Từ đó E 

đường tròn (O) (1 điểm)

b) Các tam giác MDN và MEN là các tam giác vuông có chung cạnh huyền MN nên 4 điểm

M,N,D,E cùng thuộc một đường tròn đường kính MN (1 điểm).

c) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O):

Ta có : ENP = DMP ( vì cùng phụ với góc MPN) (1) (0,25 điểm)

Vì OM = OE nên tam giác OME cân , suy ra: OME = OEM (2) (0,25 điểm)

Tam giác NEP vuông tại E, có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền NP

nên: DN = DE Suy ra tam giác DNE là tam giác cân Suy ra DNE = DEN (3)

(0,5 điểm)

Từ (1), (2), và (3) Suy ra : OEM = DEN (0,25 điểm)

Lại có: OEM + HEO = 90o , Nên OEH + HED = 90o Suy ra DE  OE

Suy ra HC = 1

2 CD =

1

2.2BC = BC (0,25 điểm)Suy ra tam giác HCB cân  góc HBC = 300 (0,25 điểm)

Tam giác HBD có góc HBC = góc HDC = 300  tam giác HBD cân (0,25 điểm)

 HB = HD (1) (0,25 điểm)

Tam giác HAB có: góc HAB = góc HBA = 150  tam giác HAB cân (0,25 điểm)

 HA = HB (2) (0,25 điểm)

Từ (1) và (2)  HA = HD (0,25 điểm)

 Tam giác HAD vuông cân  góc HDA = 450 (0,25 điểm)

 Góc ADB = góc ADH + góc HDB = 450 + 300 = 750 (0,25 điểm) b) Tính khoảng cáh từ D đến AC: ( 1 điểm)

Vì DH AC nên DH chính là khoảng cách từ D đến AC (0,25 điểm) Xét tam giác vuông HDC ta có : CD = 2 BC = 2 3 = 6 ( cm) (0,25 điểm)

 DH = CD cos C = 6 cos600 = 3 3 (cm) (0,5 điểm)

Vậy Giá trị nhỏ nhất của Q đạt được là: Qmin=4 ( 0,5 điểm)

(Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

1) Cho biểu thức A = x2 4x 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của A

2) Cho (x+ x2  )(y+3 y2 ) = 3 Tìm giá trị của biểu thức P = x + y3

Bài 4 ( 3 điểm ):

1) Chứng minh rằng:

5 2 < 1 + 1 1 1 1

2  3  4   50 < 10 22) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2

Biết x + y + z = 2007

Bài 5 ( 3 điểm ): Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng

minh rằng: SinA a

2 2 bc

Bài 6 ( 5 điểm ): Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD =

20 cm Đường trung trực của AD cắt các cacnhj AB, AC theo thứ tự ở E, F Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF

x 1 <=> x = 4 thoả mãn đkVậy min P = 4 khi x = 4

0,250,25

0,25

Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất (x,y) = (11,5)

Nhân 2 vế của (1) với (x- x2 )  0 ta được:3

Lấy (2) cộng với (3) ta được:

-(x+y) = x+y => x+y = 0

Vậy A = x+y = 0

0,5

0,5

0,5Bài 4

3 điểm 1) 5 2 < 1 + 1 1 1 1

2  3  4   50 < 10 2đặt S = 1 + 1 1 1 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 669 0,25Bài 5

3 điểm

Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax

Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:

Sin MAB = Sin A BM

2 AB => BM = c.sin

A2SinNAC = sinA

2 =

CN

AC=> CN = b.sin

A2

Do đó BM + CN = sinA

2 (b+c)Mặt khác ta có BM + CN BD + CD = BC = a

Ta có: EI = 50 - x, áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông DEI ta có:

Vậy: DE = 28, DF = 35, EF = 7 21

0,250,5

0,5

0,250,250,250,250,25

Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của

nó có phân số tối giản là 16

9 và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viếttheo thứ tự ngược lại bằng 27

Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi AB là đường kính của

đường tròn (O), AC là là đường kính của đường tròn (O’), DE là tiếp tuyến chung của hai đườngtròn, D  (O), E  (O’), K là giao điểm của BD và CE

a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)

c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng MK vuông góc với DE

Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình : 3x26x 7  5x2 10x 21 5 2x x    2

1.0

1.0

1.00.5

0.50.5

2

*Xét ba trường hợp:

Với x 0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1Với x 1 thì y = x + x – 1 = 2x -1

Vậy y =

2x 1 nÕu x 0

1 nÕu 0 < x < 12x - 1 nÕu x 1

với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m

Dựa vào đồ thị ta kết luận:

Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0 x 1  Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm

1.0

1.01.0

1O

-1

1 2

-1

xy

Giải hpt ta được: x1 9; x2 3

16

  (loại) Suy ra y 6 Vậy số cần tìm là :96

0.25

4

a) Theo tính chất góc ngoài của tam giác :  O1 = 2B, O’1 = 2C mà O1

+ O’1 = 1800 nên B+C=900, suy ra K=900 Ta lại có D = E = 900 nên

a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2) khi m = 3

b) Xác định giá trị của m để M(3; -8) là giao điểm của (d1) và (d2)

Câu3: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 1+ 3 x 16 3 x 3

b) xy – x – y = 5

yz - y- z = 5

zx –z –x =7Câu4: Cho hai đường tròn có chung tâm là điểm Ovà có bán kính lần lượt là R và R

2 Từ một điểm A cách tâm O Một đoạn OA = 2R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O ; R) Gọi

D là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O; R) và điểm O thuộc đoạn thẳng AD.a) Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn (O ; R

2 )b) Chứng minh tam giác BCD là tam giác đều

c) Chứng minh rằng đường tròn (O ; R

2 ) nội tiếp trong tam giác BDC.

Câu5: Cho x> 0; y>0 và x+y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 5x + 3y + 12 16

x  yHướng dẫn chấm:

Mặt khác ta có: OE BC=> BC tiếp xúc với đường tròn (O;R

 Tam giác ABC là tam giác đều

Từ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm nên nó là hình thoi

(0,25 đ)

=> AB=BD=CD=> BD=DC=CB=> Tam giác BCD đều (0,25 đ)

c Tam giác BCD là tam giác đều: OE=1

3ED nên O là trọng tâm của tam giác đều (0,5 đ)

Đề thi môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Họ và tên người ra đề: Lê Thị Thu

Các thành viên thẩm định để (đối với những môn có từ 2 GV trở lên)