VÏ KH vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn Bx cña ®êng trßn.[r]
(1)Phòng GD&ĐT Mộ ĐứC kỳ thi chọn học sinh Môn Toán lớp 9
TRNG THCS ĐỨC HỒ (Thêi gian lµm bµi : 150 phót)
(khụng k thi gian giao )
Đề bài Bi 1(5 điểm)
a) tìm hai sốnguyên tố p q cho p2=8q + 1 b)chứng minh 10n+18n-28 chia ht cho 27
Bài (4 điểm) Cho hệ phơng trình
ax2y=a 2x+y=a+1
{
a, Giải hệ phơng trình a=2 .
b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x − y=1 .
Bài (3 điểm) Cho bốn số thực a , b , c , d thoả mãn đồng thời:
a+b+c+d=7 vµ a2+b2+c2+d2=13 Hái a cã thĨ nhận giá trị lớn là
bao nhiêu?
Bài (4 điểm) Từ điểm K đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R Vẽ KH vng góc với tiếp tuyến Bx đờng trịn Giả sử góc KAB bằng α độ ( < α < 90 )
a, TÝnh KA, KB, KH theo R vµ α .
b, TÝnh KH theo R vµ 2 α .
c, Chøng minh r»ng: cos 2 α = – 2sin2 α
cos 2 α = cos2 α - 1
Bài (4 điểm)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A điểm cố định đờng trịn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, BI cắt đờng tròn K, tia MK cắt đờng tròn C Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM. b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động Ax trực tâm H tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định.
Môn Toán lớp 9
Bài 1( 5 điểm )
a, ( 2.5 ®iĨm )
P2= 8q + => (p+1)(p-1)=8q
8q+1 lẻ => p2 lẻ => p=2k+1
Do đó k(k+1)=2q
=>p có dạng 4t+1 4t-1 q có dạng : t(2t+1) t(2t-1) p,q nguyên tố => p=5; q=3 vậyp=5;q=3
(2)b, (2.5 ®iĨm)
Ta có thể viết : 10n+18n-28= 9(10n-1+10n-2 +102+1) + 18n -27
=9((9+1)n-1+ (9+1)2+ (9+1)+1) + 18n-27
=9(9k+n) +18n - 27
=81k +27n-27 chia hết cho 27
vạy: 10n+18n-28 chia hết cho 27
0,25® 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a = √2 vào hệ phơng trình đợc:
¿ √2x −2y=√2 −2x+y=√2+1
¿{ ¿
0,25®
¿ √2x −2y=√2 −4x+2y=2√2+2
¿{ ¿
0,25®
¿
(√2−4)x=3√2+2
√2x −2y=√2
¿{
¿
0,25®
Tìm đợc x=3√2+2 √2−4
0,5®
Tìm đợc y=2+3√2 √2−4
0,5®
KL 0,25®
b, (2 ®iĨm)
Từ x – y = ⇒ y = x – thay vào hệ PT đợc
¿
ax−2(x −1)=a −2x+(x −1)=a+1
¿{ ¿
0,25®
¿ (a −2)x=a −2
− x=a+2 ¿{
¿
⇒ a2 + a - = 0
0,5®
(a – 2)(a + 3) = 0 0,5®
Tìm đợc a= -3; 2 0,5
KL 0,25đ
Bài (3 điểm)
Tõ a +b+c+d = ⇒ b+c+d = a 0,25đ
(3)mà (b – c )2 0 ; (c - d )2 0 ;(d - b )2 0 ;
⇒ b2 + c2 2bc; c2 + d2 2cd; d2 + b2 2bd;
0,75®
Từ (b+c+d)2 3(b2 + c2 + d2) 0,5đ
⇒ (7 - a)2 3(13 – a2) 0,25®
(a – 1)(a- 52 ) 0 0,5®
Tìm đợc a 52 0,25đ
do a nhận giá trị lớn 52 0,25đ
Bài (4 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lp luận để có ∠ AKB = 900 (0,25đ); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25đ);
XÐt AKB vuông H có
KA = AB cos α = 2R cos α (0,25®);
KB = AB sin α = 2R sin (0,25đ);
Xét KHB vuông H cã
KH = KB sin α (0,25®) = 2R sin2 α (0,25®);
b, (1 ®iĨm)
VÏ KO; KC AB xÐt Δ KCO vuông C có OC = OK cos2 (0,5®);
LËp luËn cã KH = CB (0,25®) = R - Rcos2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a cã KH = 2R sin2 α theo c©u b cã KH = R(1 - cos2 α )
(0,25®);
nên 2R sin2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ) cos2 α = - 2sin2 α
(0,25®);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vng K chứng minh đợc
sin2 α + cos2 α = nªn sin2 α = - cos2 α (0,25®);
Từ có cos2 α = – 2(1 – cos2 α ) = cos2 α - (0,5đ);
Bài (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chng minh đợc Δ IAK đồng dạng với Δ IBA (0,5đ)
⇒ IA2 = IK.IB , mà I trung điểm AM
nên IM2 = IK.IB (0,5®)
Chứng minh đợc Δ MIK đồng dạng với Δ BIM (1đ)
b, (1điểm)
Từ câu a IMK = ∠ MBI , l¹i cã ∠ MBI = ∠ BCK(0,5®);
⇒ ∠ IMK = ∠ BCK ⇒ BC // MA(0,5®);
c, (1 ®iĨm)
H trực tâm MAB
tứ giác AOBH hình thoi (0,5đ);
⇒ AH = AO =R ⇒ H (A;R) cố định
x
H K
C
O B
A
C K
I
O
B
x
M
(4)